Mostralo$\angle BOC=\angle AOD$.

Aug 18 2020

Permettere$E$e$F$essere le intersezioni dei lati opposti di un quadrilatero convesso$ABCD$. Le due diagonali si incontrano in$P$. Permettere$O$essere il piede della perpendicolare da$P$a$EF$. Mostralo$\angle BOC=\angle AOD$.

Ecco lo schema:

ho definito$X=OD\cap EP, Y=EP\cap FC,Z=FP\cap EB,W=FP\cap EC $.

Ora, per un noto lemma, abbiamo$(Y,X;P,E)=-1$e per apollonius lemma , otteniamo$PO$bisettrici$\angle XOY \implies \angle XOP =\angle POY $.

Allo stesso modo, lo sappiamo$(F,P;Z,W)=-1 \implies PO$bisettrici$\angle ZOW \implies \angle ZOP =\angle WOP$.

Ma queste uguaglianze angolari non mi portano da nessuna parte. Qualcuno può darmi qualche suggerimento? Grazie in anticipo !

Risposte

4 Dr.Mathva Aug 18 2020 at 00:13

Consentitemi di riformulare brevemente il problema

Un triangolo$\triangle ABC$e tre ceviani$AD, BE, CF$che concordano a$P$sono dati. Definire$O:=EF\cap AD$e lascia$H$essere la proiezione ortogonale di$O$su$BC$. Prova che$\angle EHA=\angle KHF$.

Permettere$L:=AH\cap EF$e$K:=HP\cap EF$. Lo dimostreremo prima$\angle LHO=\angle OHK$, e poi quello$\angle EHO=\angle OHF$. Si osservi che il risultato segue da queste osservazioni.

Per la prima parte, notate che -- come è ben noto --$$-1=(D,O;P,A)\stackrel{H}=(J,O; K, L)$$Da$(J,O; K, L)$è armonico e$\angle OHJ=90^\circ$, si deduce che, in effetti,$\angle LHO=\angle OHK$. L'altra parte può essere dimostrata in modo simile, poiché l'abbiamo già fatto$(J,O;F,E)=-1$.