$\mu(A_n \Delta B_n)=0$per tutti$n.$

Aug 18 2020

Permettere$(X,S,\mu)$uno spazio di misura, e lasciare,$(A_n), (B_n)$due sequenze di elementi di S. If$\mu(A_n \Delta B_n)=0$per ogni n dimostrazione, i seguenti sono$\mu-$insiemi nulli ($\mu(E)=0$per$E\in$S):

io)$\mu( ( \bigcup^{\infty}_{n=1}A_n) \Delta (\bigcup^{\infty}_{n=1}B_n))$.

ii)$\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))$.

iii)$\mu((\overline{\lim} A_n) \Delta ((\overline{\lim} B_n))$.

iv)$\mu((\underline{\lim} A_n) \Delta ((\underline{\lim} B_n))$.

Poiché (i) lo dimostro$\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$, perché$\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=0$e$B_n-A_n$,$A_n-B_n$sono disgiunti, allora$\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=\mu(A_n-B_n)+\mu(B_n-A_n)=0$per tutti n, ma$\mu$non è negativo, quindi$\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$.

Per (ii) l'ho usato$({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n)\subset ({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n)$poi$\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))\leq \mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n))$.

Ma per (iii) e (iv) non sono sicuro.

Risposte

1 CzylabsonAsa Aug 18 2020 at 03:48

Abbiamo bisogno di alcune identità generali:

Permettere$K$un insieme di indici. Quindi:$$ \bigcup_{k\in K} X_k \triangle \bigcup_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ X \triangle Y = X^{c} \triangle Y^c \\ \bigcap_{k\in K} X_k \triangle \bigcap_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ $$La prima identità: If$a\in \bigcup_{k\in K} X_k$ma$a\notin \bigcup_{k\in K} Y_k$, poi$a\in X_{k_0}$e$a\notin Y_{k_0}$, Così$a\in X_{k_0}\triangle Y_{k_0}$, per alcuni$k_0\in K$. L'altro caso è simile.

Il secondo: definizione di differenza insiemistica.

Terzo: applicare il primo e il secondo e De-Morgan

Rispondere a (i) e (ii) è una semplice applicazione degli id ​​sopra +$\sigma$-subadditività della misura.

Per (iii): impostare$X_n=\bigcup_{k\ge n} A_k$e$Y_n=\bigcup_{k\ge n} B_k$. Quindi$X_n \triangle Y_n$è un insieme nullo: è coperto da un'unione di insiemi nulli:$X_n \triangle Y_n\subset \bigcup_{k\ge n} A_k \triangle B_k$, dalla prima identità.

Ora, la relazione$\bigcap_n X_n \triangle \bigcap_n Y_n\subset \bigcup_n X_n \triangle Y_n$implica allo stesso modo che$\mu\left( \overline{\lim}A_n \triangle \overline{\lim}B_n\right)=0$.

Il$\underline{\lim}$caso è quasi identico.