Nastri incorporati e isotopia regolare
Sto leggendo l'articolo di Kauffman del 1990 "An Invariant of Regular Isotopy" sui nodi che sono isotopici solo attraverso le mosse Reidemeister Type II e III, che è noto come isotopia regolare. Il suo articolo afferma che esiste una relazione tra isotopia regolare e bande incorporate ($S^1 \times [0,1]$) nel $S^3$. Si riferisce al libro di testo di Burde's Knots, ma non riesco a trovare alcuna menzione di isotopia regolare, perché sembra che Kauffman abbia coniato quella frase nel giornale, dopo che il testo di Burde è stato scritto.
Penso che un'isotopia regolare di nodi corrisponda a una banda incorporata. Tuttavia, sono preoccupato che possa esserci una patologia che sto trascurando. Qualcuno ha una dichiarazione precisa della relazione?
Risposte
Da qualsiasi diagramma dei nodi, si può ottenere un nodo incorniciato prendendo la "cornice della lavagna". Il punto di isotopia regolare dei diagrammi dei nodi è che conserva questa cornice di lavagna. Poiché i nodi incorniciati e le bande incorporate sono la stessa cosa, l'isotopia regolare preserverà anche la banda incorporata corrispondente alla cornice della lavagna del diagramma dei nodi.
Presumo che questo sia discusso in modo più dettagliato in Burde, forse in termini di nodi incorniciati. È anche possibile che Burde non parli affatto dei nodi incorniciati, dal momento che penso che le persone siano diventate molto più interessate a loro dopo la scoperta del polinomio di Jones / il TQFT di Chern-Simons. E sono d'accordo: penso che Kauffman abbia coniato il termine "isotopia regolare", quindi probabilmente non è usato in Burde.
Questo è più un commento che una risposta, ma spero che sia utile. Esiste una nozione molto più antica e meglio studiata di omotopia regolare . Permettere$X$ e $Y$ essere collettori lisci e lascia $f,g\colon X \rightarrow Y$essere immersioni. Poi$f$ e $g$ sono regolarmente omotopici se sono omotopici per immersione.
Concentriamoci sulle normali classi di omotopia di immersione $S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$. Una tale immersione è ciò che si ottiene da un diagramma dei nodi dimenticando gli incroci sopra / sotto. Non è difficile vedere che se$f,g\colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ sono regolarmente immersioni omotopiche con autointersezioni trasversali, quindi $f$ può essere trasformato in $g$da una sequenza degli analoghi ovvi delle mosse di Reidemeister II / III. Tuttavia, non puoi eseguire un analogo di un Reidemeister I move poiché nel momento in cui tiri il cappio, la derivata deve svanire, quindi non è una normale omotopia.
La mia ipotesi è che questo sia ciò a cui stava pensando Kauffman. A proposito, classi regolari di omotopia di immersioni$S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$può essere completamente classificato. Prendendo la derivata di tale immersione e riscalando per rendere la derivata di lunghezza unitaria, si ottiene una mappa associata$S^1 \rightarrow S^1$. Il grado di questa mappa è chiamato grado di immersione, e il teorema di Whitney-Graustein dice che questo grado è un invariante completo. Questo teorema è uno dei primi precursori del teorema di immersione di Hirsch-Smale, che per il caso speciale delle immersioni$S^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ include le famose "eversioni della sfera" di Smale che capovolgono la sfera.
