Nello spettro di un operatore lineare limitato

Question

Secondo [wikipedia] [1]

Permettere $T$ essere un operatore lineare limitato che agisce su uno spazio di Banach $X$ sul complesso campo scalare $\mathbb{C}$ e $I$ essere l'operatore di identità su $X$. Lo spettro di$T$ è l'insieme di tutti $\lambda \in \mathbb{C}$ per cui l'operatore $T-\lambda I$ non ha un inverso che è un operatore lineare limitato

Questa definizione mi sembra poco precisa a causa di quanto segue. Perché$X$ è Banach, se $T$ha un inverso, [questo inverso deve essere limitato] [2]. Ma (secondo me) la definizione su wikipedia potrebbe essere fuorviante perché si potrebbe pensare che potrebbe accadere proprio così$T-\lambda I$ è invertibile ma non limitato, nel qual caso $\lambda$ sembra anche essere un elemento dello spettro di $T$secondo la definizione di cui sopra. Penso che una migliore definizione dello spettro, in questo caso, sarebbe l'insieme di tutti i numeri complessi come$T-\lambda I$ non è invertibile.

Domanda: If$X$si presume che sia normato invece di Banach, qual è la migliore definizione di spettro? Si richiede$T-\lambda I$non essere invertibile o non essere invertibile e limitato?

[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_(functional_analysis)#:~:text=%2C%20for%20all%20) .-, Proprietà di base% 20, sottoinsieme% 20of% 20il piano% 20complex% 20. & Text = sarebbe% 20defined% 20everywhere% 20on% 20il% 20complex% 20piano% 20e% 20bounded. & Text = The% 20boundness% 20of% 20the% 20spectrum, limitato% 20by% 20% 7C% 7CT% 7C% 7C. [2]: L'inverso dell'operatore limitato?

Answer 1

Se $T-\lambda I$ è iniettiva, quindi $T-\lambda I$ avrà un inverso su $\mathcal{R}(T-\lambda I)$, ma questo non lo garantisce $(T-\lambda I)^{-1} : \mathcal{R}(T-\lambda I)\subset X\rightarrow X$è limitato. Ad esempio, considera$T : L^2[0,1]\rightarrow L^2[0,1]$ definito da $$ Tf = \int_0^x f(t)dt. $$ $T$è limitato. Anche se l'inverso$T^{-1}g = g'$ è chiuso, è definito solo sulle funzioni $g \in L^2[0,1]$ che sono

$\;\;\;$(i) assolutamente continuo,
$\;\;\;$(ii) svaniscono a $0$, e
$\;\;\;$(iii) hanno una derivata integrabile al quadrato su $[0,1]$.

inoltre $T^{-1}$non è limitato al suo dominio; quindi non è possibile estendere$T^{-1}$in modo tale che sia continuo. Se la gamma di$T$ erano tutti $X$, in modo che l'inverso di $T$ sono stati definiti ovunque $L^2[0,1]$, allora il tuo argomento si applicherebbe perché $T$sarebbe definito su uno spazio di Banach e avrebbe un grafico chiuso. Ma questo non deve accadere, anche se$T^{-1}$ esiste, in quanto non accade in questo caso.