Non riesco a capire le mie soluzioni $\log_5(3x-1)<1$ e $\log(6/x)>\log(x+5)$
Qui ho due esempi di disuguaglianze logaritmiche. Nonostante fossi in grado di risolvere, semplicemente non riuscivo a comprendere appieno il mio processo.
$\boxed{\text{Example 1: }\log_5(3x-1)<1}$
$\log_5(3x-1)<1 \Longleftrightarrow 3x-1<5 \Longleftrightarrow x<2$
Ma la soluzione non lo è $x\in(-\infty, 2)$
Considerando ora i valori per $x$ dove $\log_5(3x-1)$ è definito: $ 3x-1>0 \implies x>\frac{1}{3}$
La soluzione è l'intersezione. $$(-\infty, 2)\cap \left(\frac{1}{3}, \infty \right) \implies x\in \left(\frac{1}{3}, 2\right)$$
$\boxed{\text{Example 2: }\log \left(\frac{6}{x}\right)>\log(x+5)}$
Di nuovo, ho risolto
$\frac{6}{x}> x+5$ e $x+5>0$, come $x>-5$ essendo l'intervallo di valori definiti per i logaritmi. $$\frac{6}{x}> x+5 \Longleftrightarrow \frac{6}{x}-x-5 > 0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{x^2+5x-6}{x}<0 \Longleftrightarrow \frac{(x+6)(x-1)}{x} < 0$$
Poi, ho appena fatto il tavolo e ottenuto $(-\infty, -6)\cup (0, 1) $
La soluzione a questo problema è $ ((-\infty, -6)\cup (0, 1))\cap (-5, \infty) \implies x\in(0, 1) $
Gli obiettivi di questa domanda sono:
- Capire come risolvere meglio le disuguaglianze, capirlo in modo più intuitivo;
- Capire come funzionano le disuguaglianze, comprenderle anche in modo più intuitivo;
- Perché la risposta è l'intersezione "soluzione" con i valori definiti;
Mi dispiace se la domanda è troppo elementare, ma ogni suggerimento sarebbe gradito.
Risposte
Sembra che tu abbia un paio di idee verso il basso.
Questa è la nostra definizione di base $\log_b x = y \implies x = b^y$
Se $y = 1$
$\log_b x = 1 \iff x = b$
Ci sono alcune caratteristiche di base della funzione.
La funzione è "monotonicamente crescente". Questo è$\log x > \log y \iff x > y$
La funzione è "iniettiva": $\log x = \log y \iff x = y$
E il dominio di $\log x = (0,\infty).$ Se $x<0$ la funzione non è definita.
Non hai bisogno di conoscere queste parole del vocabolario. È necessario comprendere le implicazioni in relazione alla funzione logaritmo.
Ai problemi a portata di mano.
$\log_5 (3x-1) < 1 \implies 3x-1 < 5$dalle prime due regole. E$3x-1 > 0$ dall'ultima regola
Penso che sia una buona idea elencare tutti questi vincoli in anticipo.
Potremmo scriverlo come: $0< 3x - 1 < 5$
$\frac 13 < x < 2$
Per il secondo problema:
$\log \frac 6x > \log (x+5)\\ \frac 6x > x + 5 \text { and }\frac{6}x > 0 \text { and } x+5 > 0$
Per fortuna, $\frac{6}x > 0 \implies x > 0 \implies x+5 > 0$ così possiamo eliminare l'ultimo vincolo.
Il limite $x>0$ ci rende un servizio, in questo, possiamo moltiplicare per $x$senza preoccuparsi di capovolgere il segno sulla disuguaglianza. Se ci fosse la possibilità che x fosse negativo, non potremmo farlo.
$0 > x^2 + 5x - 6$ e $x>0$
$0>(x+6)(x-1)$ e $x>0$
La prima disuguaglianza ha una soluzione $(-6,1)$ e il secondo $(0,\infty)$
$(0,1)$ sarebbe l'intervallo in cui entrambi tengono.
Sembra che tu stia risolvendo bene queste disuguaglianze. Forse sarebbe meglio, come suggerito nei commenti, indicare prima le restrizioni e poi procedere da lì.
Nella prima domanda, ad esempio, ottieni prima una soluzione ($x<2$) quindi applicare le restrizioni da lì. Penso che questo sia ciò che potrebbe lasciarti confuso con il tuo processo.
Quando ti viene fornito il logaritmo $\log_5(3x-1)$, dovresti prima trovare i valori di $x$ soddisfacente $3x-1>0$, per assicurarti di non causare accidentalmente la presenza di un numero negativo nel tuo logaritmo. Una volta ottenuto$x>\frac{1}{3}$, quindi puoi iniziare a cercare una soluzione alla disuguaglianza. Una volta ottenuto$x<2$, sarà facile per te applicare la restrizione senza doverci pensare.
La stessa cosa vale per il secondo, ma non hai considerato anche il logaritmo a sinistra quando hai determinato le restrizioni (cioè hai$x>-5$ ma non hai ottenuto $x>0$, che ti avvicina alla risposta). Penso che questo ti avrebbe fatto risparmiare tempo.
Spero che questo ti aiuti.