Norme in campi quadratici

Aug 22 2020

Questo dovrebbe essere ben noto, ma non riesco a trovare un riferimento (o una prova, o un controesempio...). Permettere$d$essere un numero intero positivo senza quadrati. Supponiamo che non vi sia alcun elemento nell'anello degli interi di$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$con norma$-1$. Quindi credo che nessun elemento di$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ha norma$-1\ $(in termini fantasiosi, l'omomorfismo$H^2(G,\mathscr{O}^*)\rightarrow H^2(G,\mathbb{Q}(\sqrt{d})^*)$, insieme a$G:=\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{d})/\mathbb{Q})=$ $\mathbb{Z}/2 $, è iniettivo). È corretto? Se sì, apprezzerei una prova o un riferimento.

Risposte

23 JeremyRouse Aug 22 2020 at 23:45

Questo è falso. Il controesempio più piccolo è$d = 34$. Permettere$K = \mathbb{Q}(\sqrt{34})$. L'unità fondamentale in$\mathcal{O}_{K} = \mathbb{Z}[\sqrt{34}]$è$35 + 6 \sqrt{34}$, che ha norma$1$, e quindi non c'è alcun elemento in$\mathcal{O}_{K}$con norma$-1$.

Tuttavia,$\frac{3}{5} + \frac{1}{5} \sqrt{34}$ha norma$-1$, quindi c'è un elemento di norma$-1$in$K$.

16 StanleyYaoXiao Aug 22 2020 at 23:55

Jeremy Rouse ha già fornito un controesempio, ma permettetemi di ampliarlo un po'. La questione se$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$contiene un elemento di norma$-1$è puramente locale: questo accade se e solo se$d$è una somma di due quadrati di numeri interi razionali. Infatti se assumiamo$d$è senza quadrati, questo sta dicendo che tutti i numeri primi dispari si dividono$d$sono congruenti a$1$modulo$4$.

La questione se l'anello di numeri interi di$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$contiene un elemento di norma$-1$è molto più sottile, ed è davvero una domanda sul gruppo classe di$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$e il ristretto gruppo classe. Se mettiamo$K_d = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$e$\text{CL}(K_d), \text{CL}^\sharp(K_d)$essere il gruppo classe e il gruppo classe ristretto di$K_d$rispettivamente, allora l'esistenza di un elemento di norma$-1$in$\mathcal{O}_{K_d}$è equivalente a$\text{CL}(K_d) \cong \text{CL}^\sharp(K_d)$. Questa è una condizione sottile. Si può semplificare un po' il criterio, poiché in realtà solo$2^\infty$-la torsione conta. Il criterio semplificato è l'affermazione che$\text{CL}(K_d)[2^k] \cong \text{CL}^\sharp(K_d)[2^k]$per tutti$k \geq 1$. La condizione che$\text{CL}^\sharp(K_d)[2] \cong \text{CL}(K_d)[2]$è equivalente al campo$K_d$contenente un elemento di norma$-1$, ed è ovviamente una condizione necessaria affinché l'anello degli interi contenga un elemento di norma$-1$.

Modifica: dovrei sottolineare che asintoticamente i set$$S_1 = \{d : K_d \text{ contains an element of norm } -1\}$$e$$S_2 = \{d : \mathcal{O}_{K_d} \text{ contains an element of norm } -1\}$$non hanno la stessa densità, quindi ci sono infiniti controesempi. Ciò è dimostrato da Fouvry e Kluners in questo articolo . Nello stesso articolo menzionano anche che ci si aspetta una formula asintotica per la densità di$S_2$, data da Stevenhagen.

5 WillJagy Aug 23 2020 at 01:34

La versione di Dirichlet della composizione di Gauss è nel libro di Cox, (pagina 49 nella prima) con un piccolo refuso corretto nella seconda edizione. Per il nostro scopo, la duplicazione, ha un aspetto migliore da equiparare$a=a'$dall'inizio, con$\gcd(a,b) = 1$sufficiente,$$ \left( ax^2 +bxy+ acy^2 \right) \left( aw^2 +bwz+ acz^2 \right) = c X^2 + b XY + a^2 Y^2 $$dove$$ X = axz + ayw+byz \; \; , \; \; \; Y = xw - c yz $$in modo che il quadrato di$\langle a,b,ac \rangle$è$\langle c,b,a^2 \rangle.$

La domanda di oggi riguarda$c=-1$

$$ \left( ax^2 +bxy -ay^2 \right) \left( aw^2 +bwz -az^2 \right) = - X^2 + b XY + a^2 Y^2 $$dove$$ X = axz + ayw+byz \; \; , \; \; \; Y = xw + yz $$affinché$$\langle a,b,-a \rangle^2 = \langle -1,b,a^2 \rangle.$$Vediamo anche il fatto di Stanley che il discriminante è la somma di due quadrati,$b^2 + 4 a^2$il modo in cui ho scritto le cose.

Per il teorema di Gauss sulla duplicazione,$ \langle -1,b,a^2 \rangle$è nel genere principale

Inoltre, ora sappiamo che la forma principale è$SL_z \mathbb Z$equivalente a$$ \langle 1,b,-a^2 \rangle $$La forma principale potrebbe non rappresentare integralmente$-1$ma lo fa razionalmente.

Per quanto riguarda l'essere nello stesso genere, possiamo usare la definizione di Siegel di equivalenza razionale senza denominatore essenziale.

$$ \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -a^2 & -b \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 1 & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & -a^2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 0 & -a^2 \\ 1 & -b \\ \end{array} \right) = \; a^2 \; \left( \begin{array}{rr} -1 & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & a^2 \\ \end{array} \right) $$

$$ \left( \begin{array}{rr} b & 1 \\ -a^2 & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} -1 & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & a^2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} b & -a^2 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) = \; a^2 \; \left( \begin{array}{rr} 1 & \frac{b}{2} \\ \frac{b}{2} & -a^2 \\ \end{array} \right) $$