Numero di quadrati tra due numeri naturali

Question

Dati i numeri naturali$m>n\in \mathbb{N}$quanti quadrati ci sono in mezzo$m$e$n$? cioè, quanti numeri naturali$k\in \mathbb{N}$soddisfare quello$n \leq k^2\leq m$?

Penso che se dovessimo conoscere la piazza più grande$k^2=s\leq m$e il quadrato più piccolo$\tilde k^2=\tilde{s}\geq n$, quindi il numero di quadrati che sto cercando sarebbe$k-\tilde{k}+1$, ma c'è un modo semplice per trovare questi quadrati? Starei bene con limiti che sono funzioni della dimensione$m-n$.

Answer 1

Il numero di quadrati tra due numeri naturali$m$e$n$=$\begin{align} \lfloor \sqrt{m} \rfloor - \lceil \sqrt{n} \rceil + 1\end{align}$.

Dimostrazione: Let$\begin{equation} n \leq a^2 \leq k^2 \leq (a+s)^2 \leq m \end{equation}$dove$a$è il più piccolo numero naturale il cui quadrato è maggiore o uguale a$n$e$a+s$è il più grande numero naturale il cui quadrato è minore o uguale a m.

Ora, dalla semplice osservazione,$\begin{equation} a = \lceil \sqrt{n} \rceil \end{equation}$e$\begin{equation} a+s = \lfloor \sqrt{m} \rfloor \end{equation}$e il numero di quadrati tra i due numeri naturali è$s+1$.