Parametri di una distribuzione beta

Question

Ho incontrato qui una domanda sui parametri negativi di una distribuzione beta. Di seguito è riportato il collegamento per quella domanda: parametri negativi della distribuzione beta

C'è un commento in cui il file $A$ parametro = $\frac{m(m−2m^2+m^3−v+mv)}{(m−1)v}$ , e il $B$ parametro = $\frac{m−2m^2+m^3−v+mv}{v}$

Posso chiedere come arrivare a questa equazione o almeno un riferimento a questa? Ho provato a esporre i parametri aeb trovati in Wikipedia ma sono arrivato a una risposta leggermente diversa rispetto al detto commento (il parametro A in Wikipedia dovrebbe essere moltiplicato per -1 per arrivare alla stessa risposta).

Grazie mille per il vostro aiuto.

Answer 1

Questo potrebbe essere un inganno, ma puoi lasciare che Wolfram Alpha risolva le equazioni per te.

Secondo Wolfram Alpha, la risposta non banale è \begin{align*} \alpha &= \frac{m}{v}\big(-m^2 + m - v\big) \\ \beta &=\frac{1}{v}\big(m^3 - 2 m^2 + mv + m - v\big) \end{align*} assumendo $m \neq 0$, $v \neq 0$ e $m^3 - 2m^2 + m v + m - v\neq0$.

Ecco cosa producono le equazioni su una griglia equidistante $[0,1]^2$ per $(m,v)$:

L'equazione per la varianza può essere scritta in modo più compatto come $$ \beta = \frac{(1-m)[m(1-m)-v]}{v} = \frac{(1-m)}{m}\alpha. $$

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Possiamo chiederci quali combinazioni $(m,v) \in [0,1]^2$portano a parametri validi per la distribuzione Beta. Per questo, dobbiamo avere$\alpha$ e $\beta > 0$. Entrambe queste condizioni sono soddisfatte se e solo se\begin{align*} v < m(1-m) \end{align*} dimostrando che questa è l'unica condizione necessaria, inoltre $m \in (0,1)$.