Partizionamento prodotti cartesiani della forma $[0,n]\times[0,m]$ ( $n,m\in\mathbf{N}$) "Diagonalmente"

Question

Considera il prodotto cartesiano $[0,2]\times[0,3]$. Gli elementi di questo set sono$$\begin{align*} & (0,0) & (1,0) & &(2,0) \\ & (0,1) & (1,1) && (2,1)\\ &(0,2) & (1,2) && (2,2)\\ &(0,3) & (1,3) && (2,3)\end{align*}$$ I seguenti set suddividono questo prodotto cartesiano "diagonalmente": $$\{(0,0)\},\{(1,0),(0,1)\},\{(0,2),(1,1),(2,0)\},\{(0,3),(1,2),(2,1)\},\{(1,3),(2,2)\},\{(2,3)\}.$$ C'è un modo per farlo per arbitrario $n,m\geq 0$? Inizialmente ho pensato al seguente modo. Per ciascuno$k\in[0,m+n]$, permettere $$J_k=\{(i,j)\ |\ 0\leq i\leq n\ \land\ 0\leq j\leq m\ \land\ i+j=k\}.$$ Ma questi $J_k$contiene più elementi di quanti ne ho bisogno. Qualche suggerimento per modificarlo?

Answer 1

Stavo controllando la tua definizione del set $J_k$ per il tuo esempio sopra e si è rivelato funzionare perfettamente.

Considera, ad esempio, $k=2$. Poi

$$J_2 = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq 2 \wedge 0 \leq j \leq 3 \wedge i + j = 2\}$$

Quindi vuoi quelle coppie ordinate nel rettangolo $[0,2] \times [0,3]$ che sono in linea $j = -i + 2$. E potresti vedere, risolvendo quell'equazione (sapendo che$i, j \in \mathbb{N}$) otterrai le soluzioni esatte che hai scritto nella tua domanda.

Ora, in generale, questo è ciò che stai facendo in quei set

$$J_k = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq n \wedge 0 \leq j \leq m \wedge i + j = k \}$$

Qui stai elencando tutte le coppie che si trovano nel rettangolo $[0,n] \times [0,m]$ e in linea $i + j = k$.

Pertanto, una raccolta di questi set $J_k$ ti darà la partizione di quel rettangolo "diagonalmente".