Per$R>0$,$D_R=\{ z\in \mathbb{C} | |z|< R \}$. Permettere,$f,g: D_R \rightarrow \mathbb{C}$funzioni analitiche tali che non sono mai 0 in$D_R$.

Question

Per$R>0$,$D_R=\{ z\in \mathbb{C} | |z|< R \}$. Permettere,$f,g: D_R \rightarrow \mathbb{C}$funzioni analitiche tali che non sono mai 0 in$D_R$. Mostra che:

Se per tutti$z\in \mathbb{C}$,$|f(z)|=|g(z)|$allora esiste$\lambda \in \mathbb{C}$insieme a$|\lambda|=1$e$f=\lambda g$.

Poiché f, g sono analitiche in$D_R$poi, soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann. Se$f=u+iv$e$g=p+iq$poi:

$u^2+v^2=p^2+q^2$

ma non sono sicuro di come procedere

Answer 1

Abbiamo quello$\frac{f}{g}$è analitico in$D_R$e ha norma costante$1$. Ma una funzione analitica con norma costante è costante .