Perché l'infinito è considerato bello?
Risposte
Vivendo una vita affascinati dalla società, non si ha altra scelta se non quella di godere delle illimitate opportunità offerte da una semplice parola come "infinito", l'ondata di eccitazione che fornisce, la sensazione di poter ottenere qualsiasi cosa - ecco cos'è l'infinito per me e credo che sia la vera bellezza.
Si è vero. È facile per noi tipi non matematici confonderci, ma sappiamo che gli esperti dicono che è vero.
Credo, nella mia ignoranza da non matematico, che l'esempio di User non sia buono. Credo che tutti i numeri reali compresi tra uno e dieci abbiano la stessa dimensione (non maggiore di) di tutti i numeri reali compresi tra uno e cinquanta.
Potrebbe sembrare che il secondo esempio (tutti i numeri reali compresi tra uno e cinquanta) sia cinque volte (circa) più grande del primo esempio. Ma la matematica transfinita non sembra funzionare in questo modo. Infinito più uno uguale infinito. Infinito per cinque è uguale a infinito.
È quando arrivi a infinito per infinito * che il tuo risultato è più grande di quello con cui hai iniziato. A quel punto, hai bisogno di nomi per le diverse grandezze dell'infinito. Quindi abbiamo il nome aleph-null per il più piccolo infinito, aleph-one per la dimensione netta successiva, e così via.
Un esempio di aleph-null, un "infinito numerabile" è l'insieme di tutti i numeri interi. Un esempio di infinito più grande è l'insieme di tutti i numeri reali. L'insieme di tutti i numeri reali è di grandezza maggiore perché c'è un numero infinito di numeri reali tra ogni coppia di numeri interi, quindi il numero totale di numeri reali è il numero di numeri interi (aleph-null) per il numero di numeri reali tra ogni coppia di numeri interi (almeno aleph-null, ma per quanto ne so potrebbe essere più alto). Quindi il risultato, il numero di numeri reali, è almeno aleph-uno.
Non è controintuitivo?
Sì.
Allora perché dovremmo crederci?
Ecco la mia teoria: qualcuno ha escogitato un sistema per gestire i numeri transfiniti. E il sistema ha funzionato. Cioè, si è rivelato utile a qualcosa, utile in qualche modo. Non devo sapere a cosa serve, non più di quanto devo sapere a cosa serve S5 nella logica modale, o perché Hawking pensa che il "tempo immaginario" sia un concetto utile.
Tutto quello che devo fare è seguire queste convenzioni (ad esempio, usando S5, posso parodiare la logica di Plantinga per "provare" che dio non esiste ) o astenermi dall'avere un'opinione. Quello che sarebbe sbagliato è sfidare le convenzioni che non capisco, o fare lo stupido (come fa William Lane Craig quando fa l'argomentazione dell'Hilbert's Hotel) e fingere che le regole per un insieme di convenzioni dovrebbero applicarsi a un altro insieme delle convenzioni.
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Posto qui molto poco in questi giorni, perché il terrorista QAASB (Quoras Arbitrary Anti-Succintness Bot) mi mette a disagio. Ma questa domanda sembrava richiedere una risposta così lunga da non rientrare nell'ambito arbitrario del QAASB.
Se mi sbaglio, se questo post crolla quando lo invio, allora probabilmente hai visto l'ultimo di me del tutto.
* Nota a piè di pagina: in un commento, Joseph Kolacinski suggerisce che avrei dovuto dire infinito al potere infinito (piuttosto che infinito per infinito). Potrebbe avere ragione.