Perché l'unicità del quoziente e del resto di g (x) per f (x) in un anello polinomiale R [x] implica g (x) + (f (x)) = r (x) + (f (x)) come cosette di (f (x)) in R [x]?

Question

Ho letto il capitolo Algebra $0$ di Aluffi e sto faticando a capire quanto segue:

Innanzitutto, l'autore dimostra il lemma:

Permettere $f(x)$ essere un polinomio monico e assumere $$f(x)q_1(x)+r_1(x)=f(x)q_2(x)+r_2(x)$$ con entrambi $r_1(x)$ e $r_2(x)$ polinomi di grado $< \deg f(x)$. Poi$q_1(x) = q2(x)$ e $r_1(x) = r_2(x).$

Quindi si afferma che questo lemma può essere riassunto come segue:

Supponiamo quindi che $R$è un anello commutativo. Se$f(x)$ è monic quindi per ogni $g(x)\in R$ esiste un polinomio unico $r(x)$ di grado $<\deg f(x)$ e tale che $$g(x)+(f(x))=r(x)+(f(x))$$ come cosette dell'ideale principale $(f(x))$ in $R[x]$.

Come posso vedere che quest'ultima affermazione segue dal lemma?

Grazie

Answer 1

$f(x)q_1(x)+r_1(x)=f(x)q_2(x)+r_2(x)\implies r_1(x)-r_2(x)=f(x)(q_2(x)-q_1(x))\implies $ grado di $r_1(x)-r_2(x)$ è almeno uguale al grado di $f(x)$ come grado di $r_1(x) $ è inferiore a quello di $f(x) $ o $r_1(x)=0$. Allo stesso modo per$r_2$.
Quindi dobbiamo avere$r_1(x)-r_2(x)=0$ da cui dall'uguaglianza di cui sopra, ne consegue che $q_1(x)=q_2(x)$