Perché la deviazione standard per questi dati è zero e cosa implica?
Ho trovato i seguenti dati per 1000 tiri di un dado a 20 facce da un programma di dadi:
[38, 53, 47, 42, 58, 42, 47, 56, 48, 57, 49, 49, 47, 45, 43, 49, 52, 55, 62, 61]
(Dove il primo valore è il numero di volte in cui 1 è stato tirato, il secondo è il numero di volte in cui è stato tirato 2, ecc.)
Io, un esperto di statistiche, ho provato a calcolare la deviazione standard per questo e sono rimasto sorpreso di trovare zero. Pensavo che fosse possibile solo se tutti i valori fossero identici, ma a quanto pare non è così.
Il motivo per cui sono confuso è che il calcolo non mi permette di fare un'affermazione del tipo "X% dei valori del tiro di dado si trova entro Y della media, mentre W% dei tiri di dado arriva solo entro Z della media". E ho pensato che fosse questo il punto.
(per inserire un valore più specifico, ad esempio, mi aspettavo di poter dire qualcosa come "con una media di 50 per quante volte viene tirato un dato valore, il 68% dei valori di lancio appare entro +/- 5 volte la media, mentre il 95% dei tiri di dado arriva entro +/- 10 dalla media. ")
Cosa sto fraintendendo? Perché ottengo solo zero e poi non ho ulteriori informazioni?
Risposte
Un'elaborazione della risposta di @ Dave (+1): hai dati in formato "valore di frequenza". (È più compatto rispetto all'elenco dei file$n=1000$ singole facce di stampo osservate.) Se il file $k = 20$ i valori sono $v_i = i,$ per $i=1$ attraverso $k.$ e le frequenze corrispondenti lo sono $f_i,$ allora la dimensione del campione è $n = \sum_{i=1}^k f_i,$ la media campionaria è $A = \bar X = \frac 1n\sum_{i=1}^k f_iv_i,$ la varianza del campione è $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^k f_i(v_i - a)^2,$ e la deviazione standard del campione è $S = \sqrt{S^2}.$
In R:
f=c(38, 53, 47, 42, 58, 42, 47, 56, 48, 57,
49, 49, 47, 45, 43, 49, 52, 55, 62, 61)
n = sum(f); n
[1] 1000
v = 1:20
a = sum(f*v)/sum(f); a
[1] 10.843
s.sq = sum(f*(v-mu)^2)/(n-1)
[1] 33.84219
s = sqrt(s.sq); s
[1] 5.817404
Sulla base di questi dati è possibile creare un intervallo di confidenza del 95% per la media della popolazione reale $\mu$ della forma $\bar X \pm 1.96\sigma/\sqrt{n}.$ In particolare, $10.843 \pm 1.96(5.8174)/\sqrt{1000}$ o $(10.48, 11.20),$ che include il vero valore $\mu = 10.5,$vedere il calcolo teorico di seguito. [L'idea del "95%" è quella, nel lungo periodo, per campioni ripetuti di dimensioni$n = 1000,$ 95 intervalli di confidenza su 100 includeranno $\mu,$ come è successo qui.]
pm = (-1,1)
a + pm*1.96*s/sqrt(n)
[1] 10.48181 11.20419
Un altro campione simulato (da R) restituisce l'intervallo di confidenza del 95% $(9.98,10.69),$ che include anche $\mu = 10.5.$
set.seed(2020)
x = sample(1:20, 1000, repl=T)
a = mean(x); a
[1] 10.334
s = sd(x); s
[1] 5.751306
Per un singolo tiro di un dado giusto a 20 facce, $\mu = E(X) = 10.5, \sigma^2 = Var(x) = 33.25,$ e $\sigma = SD(X) = 5.7663.$ Pertanto, i valori di esempio per $n=1000$ i tiri di questo dado corrispondono ai valori teorici.
p = rep(1/20, 20)
v = 1:20
mu = sum(p*v); mu
[1] 10.5
sgm.sq = sum(p*(v-mu)^2); sgm.sq
[1] 33.25
sgm = sqrt(sgm.sq); sgm
[1] 5.766281
Per un milione di rotoli la corrispondenza è ancora più vicina (circa due decimali):
set.seed(823)
x = sample(1:20, 10^6, repl=T)
a = mean(x); a
[1] 10.49616
s = sd(x); s
[1] 5.764575
Addendum su Commenti sulla distribuzione della media di 1000 tiri del tuo dado a 20 facce. La simulazione mostra i risultati di un milione di esperimenti su 1000 rotoli.
set.seed(1234)
a = replicate(10^6, mean(sample(1:20, 1000, rep=T)))
summary(a); sd(a)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
9.554 10.377 10.500 10.500 10.623 11.337
[1] 0.1822281 # SD(A)
hist(a, prob=T, br=30, col="skyblue2")
curve(dnorm(x,mean(a), sd(a)), add=T, col="red", lwd=2)
Hai commesso un errore di calcolo, sospetto non quadrando i termini.
$$\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i -\bar{x})}{n-1}}$$
Ti sembra familiare? È la formula sbagliata. La formula corretta è:
$$\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i -\bar{x} )^2}{n-1}}$$
C'è questo problema di $n$ vs $n-1$al denominatore. La maggior parte delle persone lo fa come l'ho fatto io, però$n$si apre di tanto in tanto. Questo ha a che fare con proprietà concorrenti dello stimatore della varianza chiamate massima verosimiglianza e imparzialità , argomenti che sono appropriati per una discussione separata.
MODIFICARE
Penso che dovresti sommare più di 1000, non più di 20. Se i tuoi primi tiri vanno $18$, $11$, $7$, $18$, $3$, useresti quei numeri, non un $2$ per ottenere $18$ due volte.