Permettere $f$ essere una funzione differenziabile senza punto $x$ tale che $f(x)=0=f'(x)$ dimostralo $f$ ha finitamente molti zeri.
Permettere $f: [0, 1] \rightarrow R$essere una funzione differenziabili. Supponiamo che non abbia senso$x$ in $[0,1]$ tale che $f(x) = 0 = f'(x)$. Dimostralo$f$ ha solo un numero finito di zeri in $[0, 1]$.
La mia prova. Assumi il contrario. Continua a bisecare l'intervallo scegliendo il sottointervallo con infiniti zeri. (Questo è abbastanza standard, quindi non ne parlerò). Otteniamo$(x_n)$ tale che $f(x_n)=0$ per tutti $n$. Inoltre,$x_n\rightarrow x$ come $n\rightarrow \infty$. Lo vediamo immediatamente$f(x)=0$. Il nostro obiettivo è mostrare$f'(x)=0$anche. Sappiamo,
$$ \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)}{h}=L $$
C'è una sottosequenza $x_{n_k}$, $h_k = x_{n_k}-x\ge 0$, (in caso contrario useremo $x-x_{n_k}$ e la dimostrazione sarà simile) e osserviamo per ogni $h$, c'è $N$ tale che se $k\ge N$, $h_k=x_{n_k}-x\le h$.
Così osserviamo,
$$ \lim_{k\rightarrow \infty }\dfrac{f(x+h_k)}{h_k}=L=0 $$
L'ultima parte è dovuta al fatto $f(x+h_k)=0$. Contraddizione!
Sto solo cercando una verifica di prova. $\textbf{Please only provide hints if my proof is wrong. Complete solutions won't benefit me at all!}$
Risposte
La tua idea va bene, ma scrivi le cose in modo ingombrante. Puoi scrivere il tuo limite come$$ \lim_{z\to x}\frac{f(z)}{z-x}=L. $$ Poiché il limite esiste, puoi anche prendere il limite lungo qualsiasi sequenza che converge a $x$; in particolare il tuo$x_n$. Così$$ L=\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)}{x_n-x}=0. $$
Generalmente preferisco le dimostrazioni costruttive, eccone una nel caso foste interessati:
Permettere $Z = \{ x \in [0,1] | f(x) = 0 \}$. Nota che$Z$ è compatto da allora $f$ è continuo.
Se $x \in Z$ poi $f'(x) \neq 0$ e quindi c'è un intervallo aperto $I_x$ contenente $x$ tale che $I_x \cap Z = \{x\}$.
Il $\{I_x\}_{x \in Z}$ formare una copertina aperta di $Z$quindi c'è una sottocopertura finita. Quindi$Z$ è finito.