Permettere $\{x_n\}$ essere una sequenza in $(0, 1)$ tale che $x_n \to 0$. Mostra che la sequenza $\{f(x_n)\}$ converge.

Question

Sto cercando di risolvere il seguente problema:

Supporre che $f: (0, 1) \to \mathbb R$è uniformemente continuo. Permettere$\{x_n\}$ essere una sequenza in $(0, 1)$ tale che $x_n \to 0$. Mostra che la sequenza$\{f(x_n)\}$ converge.

Penso che non lo sia affatto $f(x_n)$ converge, dovrebbe convergere a $f(0)$ ma non sono sicuro che questo segua da quale teorema (?).

In secondo luogo, se dicessimo che si tratta dell'intervallo $[0, 1]$ piuttosto che $(0, 1)$Penso di avere un'idea su come avvicinarsi. Da$f(x)$ sarebbe uniformemente continua $[0, 1]$ per ogni $\epsilon > 0$ avremmo un file $\delta_\epsilon$ tale che se $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ poi $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. Da,$x_n \to 0$ Penso che possiamo sempre sceglierne alcuni $N \in \mathbb N$ tale che per $n > N$, $|x_n - 0| < \delta_\epsilon$. Quindi lo avremmo per tutti$n > N$, $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$ per qualche scelta di $\epsilon > 0$.

Ma qui abbiamo a che fare con l'intervallo aperto $(0, 1)$ piuttosto che $[0, 1]$ e come tali non ci è garantito che per tutti $\epsilon > 0$ avremmo un file $\delta_\epsilon$ tale che se $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ poi $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. Questo perché la definizione di continuità uniforme dice semplicemente:

Permettere $(X, d_X)$ e $(Y, d_Y)$ essere due spazi metrici e lascia $f: X \to Y$. Lo diciamo noi$f$ è uniformemente continuo se e solo per tutti $\epsilon > 0$ c'è un $\delta = \delta(\epsilon) > 0$ tale che per tutti $x, y \in X$, $d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \epsilon$.

Ma nota che in caso di $f: (0, 1) \to \mathbb R$ il punto $0$ non si trova dentro $(0, 1)$! Quindi non siamo garantiti per tutti$\epsilon> 0$, $d_X(x, 0) < \delta_{\epsilon} \implies d_Y(f(x), f(0)) < \epsilon$, dove $X = (0, 1)$ e $Y = \mathbb R$ in questo contesto.

Qualche idea su come risolvere questa prova? Inoltre, perché dovrebbe$f(x_n)$ convergono necessariamente a $f(0)$ Se $x_n \to 0$? È questa una proprietà speciale delle funzioni uniformemente continue?

Answer 1

Mostra, utilizzando in modo uniforme la continuità di $f$, quello $(f(x_n))_n$ è una sequenza di Cauchy. $f(0)$ non è definito nella tua impostazione (il dominio di $f$ è $(0,1)$) quindi non puoi concluderlo $f(x_n) \to f(0)$. Tuttavia, da quando$\Bbb R$è completo, la sequenza ammette un limite. Si noti che le funzioni uniformemente continue sono continue, quindi se una funzione$g$ definito il $[0,1]$ è uniformemente continua quindi, essendo in particolare continua, è vero che $g(x_n)\to g(0)$.

Answer 2

Un approccio consiste nell'usare il fatto che if $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ è uniformemente continua $(a,b)$, poi $f$ ammette un'estensione unica uniformemente continua a $[a,b]$. In questo caso, puoi definire in modo univoco un valore di$f(0)$ tale che $f:[0,1)\to\mathbb{R}$è uniformemente continuo. Quindi puoi concludere questo$f(x_n)\to f(0)$ per continuità.

Answer 3

Per f (x) è continuo, $\forall \epsilon, \exists \delta$ tale che quando $|x_n-0|<\delta, |f(x_n)-f(0)|<\epsilon$.

Per $x_n\to 0$, $\exists N,$ tale che quando $n>N, |x_n-0|<\delta$.

Perciò $|f(x_n)-f(x_0)|<\epsilon, f(x_n)$ converge.

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Correzione: come ha detto @FormulaWriter, $f(0)$ non è chiaramente definito, quindi è meglio sostituire $f(0)$ sopra come $f(0+)=\lim_{x\to0+}f(x)$.