Possiamo concludere che una sequenza $a_n$ tale che $ |a_1| \lt |a_2 -a_1| \lt |a_3 -a_2| \lt |a_4 - a_3| \dots$, e $a_1 \neq 0$ sta aumentando?

Question

Abbiamo una sequenza infinita $$ a_1, a_2 , a_3 \cdots $$ Ed è dato quello $$ |a_1| \lt |a_2 -a_1| \lt |a_3 -a_2| \lt |a_4 - a_3| \cdots \\ a_1 \neq 0 $$ (ovvero la differenza tra i termini successivi sono in aumento e il primo termine non può essere zero)

Possiamo concludere che i valori assoluti dei termini successivi sono in aumento? Questo è possiamo concludere$$ |a_1| \lt |a_2| \lt |a_3| \lt |a_4| \cdots $$ Giocare con le disuguaglianze fornite nella domanda può darci l'informazione che i termini alternativi stanno aumentando (in valore assoluto / numerico, lasciando $a_1$ a parte, cioè, non confrontare $a_1$con qualsiasi termine ma solo preoccupandosi che non sia zero) ma non i termini consecutivi. Quindi, penso che non possiamo concludere che i termini consecutivi siano numericamente crescenti.

Si cerca una risposta esplicativa.

Answer 1

Considera la sequenza $b_n:=c_n(1-\tfrac{1}{n})$ dove $c_n\in\{+1,-1\}$e la sequenza $a_n:=\sum_{i=1}^nb_i$.

Poi $|a_{n+1}-a_n|=|b_{n+1}|=1-\tfrac{1}{n+1}$ è in aumento, ma a causa della scelta casuale di $c_i$ non si sa se $a_n$è in aumento o in diminuzione. Ecco un esempio generato da una scelta casuale di$c_n$.

Answer 2

Un controesempio è sufficiente e puoi produrne uno con solo tre termini. Se vuoi andare un po 'oltre e dimostrare che non è necessario nemmeno un punto oltre il quale i termini aumentano in valore assoluto, devi lavorare un po' di più, ma non molto. Ad esempio, lascia$a_1=1$, e in generale let

$$a_{n+1}=\begin{cases} a_n-n,&\text{if }n\text{ is odd}\\ a_n+n,&\text{if }n\text{ is even,} \end{cases}$$

in modo da ottenere la sequenza $1,0,2,-1,3,\ldots\;$; non è difficile dimostrarlo per induzione in quel caso$a_{2n-1}=n$ e $a_{2n}=1-n$ per tutti $n\in\Bbb Z^+$. Chiaramente$|a_{n+1}-a_n|=n$ per $n\in\Bbb Z^+$, ma $|a_{2n}|=n-1<n=|a_{2n-1}|$ per $n\in\Bbb Z^+$.