Probabilità che il primo$2$gli esiti sono uno, dato che l'esito tre è l'ultimo che si verifica

Question

Considera una sequenza infinita di prove indipendenti, in cui ogni prova ha la stessa probabilità di portare a uno qualsiasi dei risultati$1$,$2$, o$3$. Dato quel risultato$3$è l'ultimo dei tre risultati a verificarsi, trovare la probabilità condizionata che

1. le prime due prove si traducono entrambe in un risultato di$1$
   

il mio tentativo: let

1. {uno$1st$} = evento in cui l'esito della prima prova è uno

2. {uno$2nd$} = evento in cui l'esito del secondo processo è uno

3. {terzultimo} = evento in cui si verifica l'esito tre dopo che si sono verificati gli esiti uno e due.

$P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}|\text{third last}) = \dfrac{P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}\cap \text{third last})}{P(\text{third last})} = \dfrac{P(\text{third last}) \cdot P(\text{one 1st}|\text{third last}) \cdot P(\text{one 2nd}|\text{one 1st}\cap \text{third last})}{P(\text{third last})}$ $= P(\text{one 1st}|\text{third last}) \cdot P(\text{one 2nd}|\text{one 1st}\cap \text{third last})$

ora, poiché ogni prova ha la stessa probabilità di essere l'una o l'altra$1$,$2$, o$3$e ci viene dato che il$1^{st}$processo non lo è$3$quindi,$P(\text{one 1st}|\text{third last})=0.5$

allo stesso modo,$P(\text{one 2nd}|\text{one 1st}\cap \text{third last}) = 0.5$poiché tutte le prove sono indipendenti, ogni prova è ugualmente probabile che sia l'una o l'altra$1$,$2$, o$3$e il risultato della seconda prova non può essere$3$(dal risultato$3$si verifica dopo i risultati$1$e$2$si sono verificati entrambi)

quindi,$P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}|\text{third last}) =0.25$, ma la risposta data è$\dfrac{1}{6}.$

cos'ho fatto di sbagliato?

modifica: la risposta data (che capisco) è
$P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}|\text{third last}) = \dfrac{P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}\cap \text{third last})}{P(\text{third last})} =\dfrac{P(\text{one 1st})\cdot P(\text{one 2nd}|\text{one 1st})\cdot P(\text{third last}|\text{one 2nd}\cap \text{one 1st})}{P(\text{third last})} = \dfrac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{6}$

Answer 1

Ci sono alcuni presupposti che sono sbagliati.

Ad esempio, la sequenza$(1,1,3)$non è un evento "terzultimo" legittimo ma è considerato legittimo nel tuo calcolo.

Il primo "un primo | terzultimo" è correttamente calcolato come essere$1\over 2$. Tuttavia "un secondo | un primo e un terzultimo" non lo è$1\over 2$perché un$2$deve verificarsi da qualche parte dopo il$1$e prima$3$quindi dato il primo è$1$e l'ultimo è$3$, c'è più possibilità che a$2$avviene al secondo giudizio.