Probabilità di passeggiata casuale - Partita di tennis

Question

Tu e un avversario state giocando a tennis, i primi a ottenere$2$vince di fila vince. La probabilità che tu ottenga una vittoria è$0.6$. La probabilità che ottenga una vittoria è$0.4$. Qual è la probabilità che tu vinca la partita?

Penso che questo possa essere modellato come una catena di Markov con 5 stati (2 sconfitte, 1 sconfitta, 0 netto, 1 vittoria, 2 vittorie). Pertanto, penso di poter scrivere alcune equazioni per risolverlo. Qualcuno può dirmi se ha senso/se è sbagliato?

P(Hai vinto subito)$= (0.6)(0.6) = 0.36$

P(vince subito)$ = (0.4)(0.4) = 0.16$

P (hai vinto)$ = \frac{0.36}{0.36+0.16}$

Answer 1

Risposta:

Caso 1: Vinci due partite consecutive$ = 0.36$

Caso 2: Vinci una partita e il tuo avversario perde una partita$ = 0.24$

Caso 3: Perdi una partita e il tuo avversario vince una partita$ = 0.24$

Caso 4: Perdi due giochi consecutivi e il tuo avversario vince$ = 0.16$

In entrambi i casi 2 e 3, la partita può essere vista come patta e ritorno al punto di partenza. Quindi la probabilità che non sia un vincitore è la somma dei casi 2 e 3$= 0.48$

La probabilità che tu vinca$= 0.36 + 0.48*(.36)+0.48^2*(.36) + \cdots \infty$

$= 0.36\frac{1}{(1-0.48)} = \frac{9}{13}$

La probabilità che il tuo avversario vinca$=0.16 + 0.48*(.16)+0.48^2*(.16) + \cdots \infty$

$= 0.16\frac{1}{(1-.48)} = \frac{4}{13}$

Questo è un modo in cui puoi semplificare il gioco e trovare la soluzione a meno che tu non conosca il modo di risolvere la catena di Markov.