Probabilità di selezionare picche o un asso da un mazzo di carte

Question

Trova la probabilità che è stata data $i$ carte da un mazzo di $52$, $j$ di loro sono picche e $k$ di loro sono assi, dove $1\leq i\leq 52, \max\{i-39,0\}\leq j\leq \min\{i, 13\},$ e $\max\{i-48, 0\}\leq k\leq \min\{i, 4\}.$

Nel caso generale, ovviamente il numero di modi per selezionare il file $i$ carte è ${52\choose i}$. Definire$P(A_1)$ essere la probabilità che $j$ si scelgono le picche e $P(A_2)$ la probabilità che $k$vengono scelti gli assi. Calcolare$P(A_1),$ selezioniamo le picche e poi le non picche, e allo stesso modo per $P(A_2)$. Calcolare$P(A_1\cap A_2),$consideriamo il numero di possibilità in cui c'è un asso di picche o non c'è un asso di picche. Poi$P(A_1) = \dfrac{{13\choose j}{39\choose i-j}}{{52\choose i}}, P(A_2) = \dfrac{{4\choose k}{48\choose i-k}}{{52\choose i}}, P(A_1\cap A_2) = \dfrac{{1\choose 1}{3\choose k-1}{12\choose j-1}{36\choose i-j-k+1} + {3\choose k}{12\choose j}{36\choose i-j-k}}{{52\choose i}}$, dove ${a\choose b} = 0$ Se $b < 0$ o $b > a$per semplicità. Quindi la probabilità desiderata è il risultato$P(A_1) + P(A_2)-P(A_1\cap A_2).$

È corretto?

Answer 1

Sì. Il tuo ragionamento e il tuo conteggio sono corretti.

$$\begin{align} \mathsf P(\spadesuit_j)&=\left.\tbinom {13}{j}\tbinom{39}{i-j}\middle/\tbinom{52}i\right. \\[1ex]\mathsf P(A_k)&=\left.\tbinom{4}{k}\tbinom{48}{i-k}\middle/\tbinom{52}i\right. \\[1ex]\mathsf P(A_k\cap\spadesuit_j)&=\left.\left[\tbinom 11\tbinom 3{k-1}\tbinom {12}{j-1}\tbinom{36}{i-j-k+1}+\tbinom10\tbinom 3k\tbinom{12}j\tbinom{36}{i-j-k}\right]\middle/\tbinom{52}i\right. \\[1ex]\mathsf P(A_k\cup\spadesuit_j)&=\mathsf P(\spadesuit_j)+\mathsf P(A_k)-\mathsf P(A_k\cap\spadesuit_j) \end{align}$$