probabilità e aspettativa Domanda del libro IMO
Stavo cercando di risolvere questo problema ma non ho capito la soluzione quando l'ho vista.
Problema: ci sono$8$ragazze e$7$ragazzi in una festa sociale, seduti intorno a un tavolo rotondo. Se tutte le ragazze si siedono insieme, allora ci sono solo due ragazze adiacenti ai ragazzi. Se ragazze e ragazzi si siedono il più alternativamente possibile, allora ci sono$14$coppie di sedili che sono ragazza e ragazzo adiacenti. Quante coppie di sedili ci sono in media che sono ragazza e ragazzo adiacenti
Commenti: il mio problema è che quando ho guardato la soluzione non ho capito perché hanno preso la probabilità di$1$coppia e moltiplicato per$15$(il numero totale di posti). Non sono convinto che l'evento di avere una coppia in un posto sia indipendente dall'avere una coppia in un altro posto poiché la quantità di ragazzi/ragazze rimanenti è diversa.
Qualcuno può aiutarmi a capire cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento e perché è la probabilità di sede$i,j$avendo una coppia indipendente dal sedile$j,j+1$avere un paio?
Risposte
Permettere$A$essere il gruppo abeliano ciclico$\Bbb Z/15$insieme a$15$elementi. Considera lo spazio$\Omega$di tutti$\omega:A\to\{0,1\}\subset \Bbb R$, affinché$\sum \omega=8$. Qui ci identifichiamo$\omega$con una tupla$(\omega_0,\omega_1,\dots,\omega_{14})$e$\sum\omega$è la somma dei componenti di$\omega$. Definiamo le variabili casuali$X_a$per$a\in A$definito da$X_a(\omega)=\omega_a$.
(Riteniamo che una ragazza corrisponda a un$1$entrata in$\omega$, un ragazzo ad a$0$ingresso e utilizzare l'ordine ciclico degli indici per farli sedere nello stesso ordine ciclicamente attorno alla tavola rotonda.)
La funzione che fornisce il numero di coppie adiacenti$01$e/o$10$è la variabile casuale$Z$...$$ \begin{aligned} Z(\omega)&=\sum_{a\in A}|\omega_a-\omega_{a+1}|\ ,\text{ so}\\ Z&=\sum_a|X_a-X_{a+1}|\ . \\ &\qquad\text{ Then:} \\ \Bbb E Z &=\Bbb E\sum_a|X_a-X_{a+1}|\\ &=\sum_a\Bbb E|X_a-X_{a+1}|\\ &=|A|\cdot\Bbb E|X_0-X_1|\ , \end{aligned} $$l'ultima riga usando la simmetria ciclica su$\Omega$indotto dall'azione di$A$.
Questo argomento "disaggrega" le informazioni e ci consente di guardare solo i posti etichettati$0$e$1$.