Può un modello standard di $\sf ZFC$ contenere tutti gli ordinali senza essere transitivi?
Per modello standard di ZFC intendo un modello di ZFC che può essere un insieme o una classe propria e la cui relazione di elementhood è la vera relazione di elementhood. Un modello transitivo di ZFC è un modello standard di ZFC che è anche una classe transitiva. Secondo il lemma del collasso di Mostowski, ogni modello standard di ZFC è isomorfo, tramite un isomorfismo unico, a un modello transitivo unico di ZFC. La mia domanda è: si può sempre "sbloccare" un modello transitivo di ZFC in un modello standard ma non transitivo di ZFC? Ad esempio, esiste un modello standard non transitivo di ZFC isomorfo al modello interno minimo$L$? Inoltre, esiste un modello standard non transitivo di ZFC contenente tutti gli ordinali isomorfo al modello interno minimo$L$?
Modifica: dati gli utili commenti fatti (la risposta alle prime due domande è sì), l'unica domanda che mi resta è l'ultima: esiste un modello standard non transitivo di ZFC contenente tutti gli ordinali isomorfo rispetto al minimo interno modello $L$? In caso contrario, allora$L$non è solo il modello interno minimo, è il modello standard minimo contenente tutti gli ordinali. Più in generale, esiste un modello standard non transitivo di ZFC contenente tutti gli ordinali?
Risposte
Ho cancellato la mia risposta precedente poiché era sbagliata, come sottolineato da Rodrigo Freire nei commenti.
In effetti, è possibile avere un modello non transitivo i cui ordinali sono un segmento iniziale degli ordinali. Dillo$M$ è un modello transitivo tale che $M\neq V_\alpha$ per ogni $\alpha\in\rm Ord\cup\{Ord\}$ (dove $V_{\rm Ord}$è solo l'intero universo). Poi c'è un più piccolo$\alpha$ come $\alpha\in M$ e $\mathcal P(\alpha)^M\neq\mathcal P(\alpha)$.
Definire $N$ essere il modello ottenuto sostituendo ricorsivamente $\mathcal P(\alpha)^M$ di $\mathcal P(\alpha)$o anche solo aggiungendo un nuovo set a questa raccolta. Poi$N$ è un modello standard, i suoi ordinali sono un segmento iniziale degli ordinali, ma non è transitivo.
Se prendiamo $M=L$ e $V\neq L$, quindi possiamo ovviamente ottenere un modello di $V=L$ che non è $L$.
Asaf Karagila ha risposto alla domanda, ma ho pensato a risultati parziali per la minimalità di $L$ nella direzione della sua risposta precedente, come chiesto da Jesse Elliot nel suo ultimo paragrafo.
Innanzitutto, mi scusi se dico che penso che la teoria degli insiemi non abbia utilizzato i modelli standard (nel senso di questa domanda) molto perché sono isomorfi ai modelli transitivi. Quindi, non siamo molto abituati a loro. Tuttavia, in effetti è facile "sbloccare" un modello transitivo$M$: prendi un elemento $a\in M$ e sostituirlo ovunque transitivamente con $a\cup \left\{a\right\}$. Se$a$ non è un ordinale, quindi il modello standard risultante condividerà gli ordinali di $M$.
Ora, in una direzione più positiva, esaminiamo un risultato di minimalità parziale per $L$:
-Permettere $M\subseteq L$essere un modello standard tale che i suoi ordinali siano gli ordinali reali. Poi$M=L$ iff l'ordine costruibile $Od$ (vedi Shoenfield, ML, pagina 272) è assoluto per $L^M$.
prova: Primo avviso$L^M=\left\{x\in M : (x\in L)^M\right\}$è un modello standard i cui ordinali sono gli ordinali reali. Se$L^M$ fossero transitivi, quindi includerebbe $L$, quindi $M$ sarebbe uguale a $L$. Quindi, supponiamo che$L^M$ non è transitivo.
Permettere $K$ essere il collasso transitivo di $L^M$. L'immagine di$K$ è un modello transitivo di $ZF$ contenente tutti gli ordinali e contenuto in $L$, così è $L$. Permettere$x$ essere un controesempio minimo della transitività di $L^M$. Poi$K(x)\neq x$, così $Od(K(x))\neq Od(x)$ (Richiama questo $M\subseteq L$, quindi $Od$ è definito per tutti gli elementi di $M$ed è iniettiva). Da$K$ è un isomorfismo da $L^M$ per $L$, $K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))$. Dall'ipotesi dell'assolutezza,$Od^{L^M}(x)=Od(x)$.
Perciò,
$K(Od(x))=K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))\neq Od(x)$,
così $Od(x)$ è un ordinale che viene spostato da $K$. Questa è una contraddizione con l'ipotesi che gli ordinali di$M$ sono esattamente gli ordinali.