Puoi piegare un quadrato in un quadrato di un quinto dell'area?
Amo l'origami e recentemente mi ha dato un'idea per un puzzle molto difficile ma bellissimo. Sono davvero curioso se qualcuno qui può risolverlo.
Quindi ecco il puzzle. Ti viene dato un grande pezzo di carta perfettamente quadrato senza segni su di esso. Con questo quadrato, devi creare un quadrato di esattamente un quinto dell'area del quadrato originale. Non ti vengono forniti strumenti come un righello o le forbici e tutto ciò che puoi fare è piegare la carta. Come si risolve questo?
Risposte
Il modo per farlo è:
- Piega la carta a metà lungo entrambi gli assi. Ora hai segnato il punto medio di tutti e quattro i lati.
- Piega lungo le diagonali della mossa del cavaliere, disegnate qui:
questo crea il quadrato rosso. Tutte e cinque le regioni colorate hanno la stessa area, quindi il quadrato rosso è 1/5 della dimensione del quadrato con cui hai iniziato.
Piega la carta orizzontalmente esattamente al centro; piega ciascuno dei due$1\times\frac 1 2$rettangoli diagonalmente tali che le due diagonali siano parallele. Ruota la carta di un quarto di giro e fai esattamente lo stesso. Le quattro diagonali che hai appena creato racchiudono un quadrato di area$\frac 1 5$.
Dobbiamo dimostrare che la distanza tra due diagonali parallele è $\frac 1 {\sqrt 5}$. Questa distanza è uguale all'altezza sulla diagonale di uno dei grandi triangoli che abbiamo creato. Questi triangoli hanno un'area$\frac 1 4$ mentre la lunghezza della base, cioè la lunghezza di una diagonale è $\frac {\sqrt 5} 2$. La dichiarazione segue immediatamente.
ecco una soluzione che penso che usandola in modo simile possiamo avere qualsiasi frazione quadrata desiderata.
(imp la linea grigia lunga è la prima linea grigia, quella relativamente più corta è la seconda linea grigia.)
1. quello che facciamo è ottenere prima le linee blu piegando a metà più volte, in questo caso otteniamo 1/8 di divisione.
2. Prendi cinque divisioni continue di questo tipo dal bordo destro.
3. piega la carta in modo da incontrare l'angolo in alto a destra dell'intero quadrato e il punto che è l'estremità inferiore della 5a linea blu (nell'immagine una linea blu si sovrappone al nero che è la 4a linea blu).
4. si ottiene la linea grigia unendo la "fine della 5a linea blu" e "un angolo". 5. no abbiamo un triangolo con lati x e (5/8) * x;
6. Eseguire un'operazione simile per la seconda linea grigia del triangolo (con lati x e (3/8) * x), questa volta utilizzare il punto finale della terza linea blu.
7. piega il bordo superiore del foglio per ottenere la linea verde di lunghezza x / 8 che interseca la prima linea grigia e il bordo destro del foglio. (Potrebbe essere fatto facilmente)
8. la regione della linea verde tra le 2 linee grigie è lunghezza x / 20. >! 9. piega il bordo destro per ottenere la linea rossa che passa dal punto di intersezione della linea verde e la 2a linea grigia.
10. ora abbiamo questa misura di lunghezza x / 20 su un lato che possiamo copiare 4 volte piegando la carta per ottenere una lunghezza x / 5 e quindi fare un quadrato.
Ora, quando abbiamo x / 5 di lunghezza, prenderemo x / 5 di lunghezza su un bordo, diciamo il bordo destro e 2x / 5 di lunghezza sul bordo superiore (quindi queste 2 lunghezze sono perpendicolari tra loro)
questa x / sqrt (5) può essere usata per creare un quadrato di area 1/5 della più grande;
imgur è ancora lento PS: ho commesso un grosso errore prima e ho ottenuto 1/5 di lunghezza la modifica ora dà 1 / sqrt (5) lunghezza
PS: Possiamo generalizzarlo per ottenere qualsiasi frazione di area se la frazione può essere scritta come somma di 2 quadrati significa qui 5 = 2 2 + 1 1, anche se sei davvero molto laborioso puoi effettivamente ottenere le frazioni desiderate, ma tu devono eseguire questi ultimi passaggi più volte.
Non una risposta. Ecco solo un'animazione per visualizzare la bella risposta di Deusovi . Spero che vi piaccia.
Estendendo la risposta di Deusovi, puoi piegare un quadrato a qualsiasi frazione quadrata della frazione $n^2/(a^2+b^2)$, dove $n <= a-b$.
Realizzare $1/5$, scegli $n=1$, $a=2$, $b=1$.
Dividi i bordi $a$parti uguali. Quindi piega le linee "mosse del cavaliere"$(a,b)$. Questo genererà$(a-b)^2$ quadrati di dimensioni $1/(a^2+b^2)$. Ora raccogli$n^2$ di questi per generare la frazione desiderata.