Pushout di Ferrand per stack algebrici

Question

Spazi algebrici dati$X$,$Y$,$Z$con un morfismo finito$Y \rightarrow X$e un'immersione chiusa$Y \hookrightarrow Z$, il pushout$P \cong X \amalg_Y Z$esiste come spazio algebrico (cfr. Temkin e Tyomkin - Ferrand pushouts per gli spazi algebrici , Teorema 6.2.1 (ii),(b)).

Questo vale ancora se ovunque sopra sostituiamo "spazio algebrico" con "stack algebrico" (o "stack DM")?

Answer 1

Sì, questo è esattamente il Teorema A.4 nel mio vecchio preprint Compactification of tame Deligne–Mumford stacks che è atteso da tempo per apparire su arXiv. La dimostrazione è piuttosto concisa ma abbastanza standard (si confronti con l'Appendice A dell'Apertura della versalità di Jack Hall tramite funtori coerenti ). Una prova più dettagliata apparirà anche nel prossimo documento:

Algebrazione di Artin per coppie e applicazioni alla struttura locale di stack e pushout di Ferrand

che è insieme a Jarod Alper, Jack Hall e Daniel Halpern-Leistner. Qui dimostriamo l'esistenza di pushout di morfismi affini e di immersioni chiuse nella categoria degli stack algebrici (quasi separati).

PS. Almeno alcuni autori chiamano pushout di morfismi finiti e immersioni chiuse per "pizzichi". Ferrand ha considerato il caso più generale di morfismi affini, da cui il nome Ferrand pushouts.