Qual è il significato di “a causa della simmetria dei coefficienti, se $x=r$ è uno zero di $x^4+x^3+x^2+x+1$ poi $x=\frac1r$ è anche uno zero "

Question

Stavo studiando questa risposta sul factoring $x^4+x^3+x^2+x+1$:

https://socratic.org/questions/how-do-you-factor-x-4-x-3-x-2-x-1

L'autore dice: "Un approccio algebrico più pulito è notare che a causa della simmetria dei coefficienti, se $x=r$ è uno zero di $x^4+x^3+x^2+x+1$ poi $x= {1\over r}$ è anche uno zero "

E alla fine scrive $x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$

Domanda $1$: Qual è il significato di simmetria dei coefficienti?

Domanda $2$: Possiamo fare lo stesso approccio per $x^4-x^3+x^2-x+1$? (Lo chiedo perché è rilevante per l'altra mia domanda:https://math.stackexchange.com/q/3792586)

Answer 1

L'elenco dei coefficienti di$$x^4+x^3+x^2+x+1$$è $(1,1,1,1,1)$, che è simmetrico (se lo inverti, otterrai lo stesso elenco). In altre parole, è un elenco del tipo$(a,b,c,b,a)$. E se$r(\ne0)$ è una radice di$$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a,\tag1$$poi$$ar^4+br^3+cr^2+br+a=0,$$e quindi$$a+\frac br+\frac c{r^2}+\frac b{r^3}+\frac a{r^4}=0$$pure; in altre parole,$\frac1r$ è anche una radice di $(1)$. Quindi, a meno che una delle radici non sia$\pm1$ (che sono gli unici numeri uguali ai propri inversi), $(1)$può essere scritto come \ begin {multline} a (xr) \ left (x- \ frac1r \ right) (x-r ') \ left (x- \ frac1 {r'} \ right) = \\ = a \ left (x ^ 2- \ sinistra (r + \ frac1r \ destra) x + 1 \ destra) \ sinistra (x ^ 2- \ sinistra (r '+ \ frac1 {r'} \ destra) x + 1 \ destra). \ fine {multline}

In particolare, $x^4-x^3+x^2-x+1$ può essere scritto come$$(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1.$$Per trovare $a$ e $b$, risolvi il sistema$$\left\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ab+2=1.\end{array}\right.$$

Answer 2

Per rispondere alla domanda originale, il processo di pensiero è il seguente:

(1) Se $r$ è una soluzione a $x^4-x^3+x^2-x+1=0$, poi $r^4-r^3+r^2-r+1=0$.

(2) Dividi entrambi i lati per $r^4$ ottieni $({1\over r})^4-({1\over r})^3+({1\over r})^2-({1\over r})+1=0$. Perciò$1\over r$ è anche una soluzione.

(3) Quindi se $(x-r)$ è quindi un fattore del polinomio $(x-{1\over r})$ è anche un fattore.

(4) Pertanto l'equazione può essere scritta come $(x-r)(x-{1\over r})(x-s)(x-{1\over s})$

(5) Pertanto può essere scritto come $(x+ax+1)(x+bx+1)$