Qual è il significato di questo omomorfismo di confine per l'ipercoomologia di gruppo?
$\require{AMScd}$ Permettere $\Gamma=\{1,\gamma\}$ essere un gruppo di ordine 2. Nel mio problema dalla coomologia di Galois dei gruppi riduttivi reali sono arrivato a un diagramma commutativo di $\Gamma$-moduli (gruppi abeliani con $\Gamma$-action) \ begin {equation *}% \ label {e: cd} \ begin {CD} 1 @ >>> Q_1 @ >>> Q_2 @ >>> Q_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ rho_1} V @VV {\ rho_2} V @VV {\ rho_3} V \\ 1 @ >>> X_1 @ >>> X_2 @ >>> X_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ alpha_1} V @VV {\ alpha_2} V @ VV {\ alpha_3} V \\ 1 @ >>> P_1 @ >>> P_2 @ >>> P_3 @ >>> 1 \\ \ end {CD } \ end {equation *} in cui le righe sono esatte, ma non le colonne (e$\alpha_k\circ\rho_k\neq 0$). Le righe superiore e inferiore del diagramma si dividono canonicamente:$$Q_2=Q_1\oplus Q_3\quad\text{ and }\quad P_2=P_1\oplus P_3,$$ e questi frazionamenti sono compatibili: $$ \alpha_2(\rho_2(0,q_3))= \big(\,0,\,\alpha_3(\rho_3(q_3))\,\big)\tag{$*$} $$ per $q_3\in Q_3$. Considero i gruppi ipercoomologici della Tate$${\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)\quad\text{ and } \quad{\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1),$$ dove entrambi i complessi brevi sono in gradi $(-1,0)$.
Di seguito costruisco "a mano" un omomorfismo canonico di confine $$\delta\colon\, {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\to X _3)\,\longrightarrow\, {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1),$$
Domanda. Come posso ottenere questo omomorfismo di confine da una sorta di teoria generale?
Nota. Per un gruppo$\Gamma$di ordine 2 (e anche per qualsiasi gruppo ciclico$\Gamma$) la coomologia e l'ipercoomologia della Tate sono periodiche con il periodo 2. Pertanto, il ns $\delta$ è una mappa $${\Bbb H}^1(\Gamma,\, Q_3\to X_3\to 0)\, \longrightarrow \, {\Bbb H}^2(\Gamma,\, 0\to X_1\to P_1),$$ dove entrambi i complessi sono in gradi $(-2,-1,0)$.
Costruzione. Cominciamo con$[ q_3, x_3]\in {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)$. Qui$( q_3, x_3)\in Z^0(\Gamma,Q_3\to X _3)$, cioè \ begin {equation} q_3 \ in Q_3, \ quad x_3 \ in X_3, \ quad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} q_3 + q_3 = 0, \ qquad \, ^ {\ gamma \ kern -0.8pt} x_3- x_3 = \ rho_3 (q_3). \ Tag {$**$} \ end {equation} Solleviamo canonicamente $ q_3$ per $$ q_2=(0, q_3)\in Q_1\oplus Q_3= Q_2,$$ e ci alziamo $ x_3$ad alcuni $ x_2\in X _2$. Scriviamo$$\alpha_2( x_2)=( p_1, p_3)\in P_1\oplus P_3=P_2,$$ dove $ p_3=\alpha_3( x_3)\in P_3$ e $ p_1\in P_1$. Prepariamo$$ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2-\rho_2( q_2).$$ Dal momento che da $(*)$ noi abbiamo $$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_3- x_3=\rho_3( q_3),$$ Lo vediamo $ x_1\in X _1$. Calcoliamo:$$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_1+ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt}(\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-{}^{\gamma\kern -0.8pt}\rho_2(0, q_3)+ (\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-\rho_2(0, q_2)=-\rho_2(0,\,^{\gamma\kern -0.8pt} q_3+ q_3)=0$$ di $(**)$. Inoltre,\begin{align*} \alpha_1( x_1)&=\,^{\gamma\kern -0.8pt}\alpha_2(x_2)-\alpha_2(x_2)-\alpha_2(\rho_2(q_2))\\ &=\,^{\gamma\kern -0.8pt}( p_1, p_3)-( p_1, p_3)-( 0,\alpha_3(\rho_3( q_3)))\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_3-p_3-\alpha_3(\rho_3(q_3))\big)\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,\alpha_3(\,^{\gamma\kern -0.8pt}x_3-x_3-\rho_3(q_3))\big)\\ &=(\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1- p_1,0) \end{align*} di $(*)$ e $(**)$. Così$$\alpha_1(x_1)=\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1-p_1.$$ Lo vediamo $(x_1, p_1)\in Z^0(\Gamma, X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1)$. Prepariamo$$\delta[ q_3, x_3]=[ x_1, p_1]\in {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1).$$ Un semplice controllo mostra che la mappa $\delta$ è un omomorfismo ben definito.
Risposte
Credo che il modo più semplice per gestire questo problema sia nel formalismo delle categorie triangolate. Puoi farlo in vari modi: o lavora con la categoria derivata illimitata o (probabilmente più facile) sostituisci ogni modulo$M$ con $\operatorname{Hom}_\Gamma(\mathcal R,M)$ dove $\mathcal R$ è la risoluzione completa per $\Gamma$, cioè il complesso standard 2-periodico illimitato $$\cdots\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\cdots$$di $\Gamma$-moduli.
Lascia allora $X_1\to X_2\to X_3\to\Sigma X_1$ essere un triangolo esatto in una categoria triangolata arbitraria, e sia $Q_3\to X_2\to P_1$essere morfismi arbitrari con zero composito. Permettere$P$ sii la fibra di $X_1\to P_1$ e lascia $Q$ essere il cofiber di $Q_3\to X_3$. Il nostro scopo è costruire da tutto ciò una mappa canonica$Q\to\Sigma P$. Si scopre che esiste una mappa del genere che è inoltre un isomorfismo se e solo se$Q_3\to X_2\to P_1$ è esatto.
Dal momento che il composito $Q_3\to X_2\to P_1$ è zero, la mappa $X_2\to P_1$ fattori attraverso cofiber di $Q_3\to X_2$, $X_2\to Q_0$e la mappa $Q_3\to X_2$ fattori attraverso la fibra $P_0\to X_2$ di $X_2\to P_1$. Quindi tutto sommato$X_1\to P_1$ fattori nel composito $X_1\to X_2\to Q_0\to P_1$, mentre $Q_3\to X_3$ fattori nel composito $Q_3\to P_0\to X_2\to X_3$.
Prima nota che in queste circostanze il cofibre di $Q_3\to P_0$ è isomorfo alla fibra di $Q_0\to P_1$; denotandolo con$H$, il composito $P_0\to H\to Q_0$ è il composito $P_0\to X_2\to Q_0$.
Otteniamo otto istanze dell'assioma dell'ottaedro, che ce lo dicono per vari compositi $f\circ g$ ci sono triangoli esatti $\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)\to\operatorname{cofibre}(f\circ g)\to\operatorname{cofibre}(f)=\Sigma\operatorname{fibre}(f)$ e $\operatorname{fibre}(g)\to\operatorname{fibre}(f\circ g)\to\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)=\Sigma\operatorname{fibre}(g)$. A rigor di termini, non tutti sono necessari, ma per completezza lasciatemi elencarli tutti.
La coppia componibile | dà il triangolo esatto |
---|---|
$Q_3\to P_0\to X_2$ | $H\to Q_0\to P_1\to\Sigma H$ |
$Q_3\to X_2\to X_3$ | $X_1\to Q_0\to Q\to \Sigma X_1$ |
$Q_3\to P_0\to X_3$ | $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$ |
$P_0\to X_2\to X_3$ | $P\to X_1\to P_1\to\Sigma P$ |
$X_1\to X_2\to Q_0$ | $Q_3\to X_3\to Q\to\Sigma Q_3$ |
$X_1\to X_2\to P_1$ | $P\to P_0\to X_3\to\Sigma P$ |
$X_1\to Q_0\to P_1$ | $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$ |
$X_2\to Q_0\to P_1$ | $Q_3\to P_0\to H\to\Sigma Q_3$ |
Per riassumere tutto in un unico diagramma - in quanto segue, le linee con tre oggetti su di esse rappresentano triangoli esatti; tutto fa il pendolare.