Qual è il significato di volume del sistema dinamico
https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_systemspiega che il volume dello spazio degli stati o dello spazio delle fasi è invariante. La nota della conferenza intitolata "11 Strani attrattori e Lyapunov dim." tratto dal libro di Strogatz mostra nell'eq (2) una trasformazione di coordinate del volume. Voglio capire se la dimostrazione mostrata nella nota significa che il volume dei sistemi con strani attrattori è invariante rispetto a qualche tipo di trasformazione come la trasformazione delle coordinate. Tramite la trasformazione delle coordinate, possiamo generare la ricostruzione dello spazio delle fasi e utilizzandola possiamo ottenere uno strano attrattore . Dopo aver scelto correttamente l'impostazione dei parametri per il sistema dinamico caotico, possiamo vedere lo strano. Ma non riesco a capire la prova.
Domanda: Qualcuno può mostrare per favore come dimostrare che il volume per sistemi con attrattori strani è invariante alla trasformazione e cosa significa questo.
Il volume di strani attrattori si riduce o si espande?
AGGIORNAMENTO: 18 agosto
Sulla base della discussione sotto i commenti, questo è quello che potrei scrivere da qualunque cosa potessi capire. Apprezzerò l'aiuto nel completare la scrittura della bozza in modo elegante.
Dimostrazione: il volume di uno strano attrattore mostrato dai sistemi nella dinamica caotica è invariante rispetto a qualche trasformazione ed è una misura o una metrica.
La mia idea è quella, lascia $n_a$ essere la dimensione dell'attrattore e $d$ essere la dimensione di incorporamento e l'attrattore ha un volume $v$ con una dimensione attrattore $n_a$. Se sono disponibili serie temporali a valori scalari, possiamo ricostruire l'attrattore in$d$ spazio delle fasi dimensionali con il metodo di inclusione del ritardo di Takens, $d \ge 2n+1$ dove $n$è la dimensione del sistema osservato. Non siamo a conoscenza del valore effettivo di$n_a$. Poiché, per i sistemi dissipativi volume$v \le 0$, se e solo se $n \le n_a$, ed è uguale a zero poiché la sua dimensione è minore di $n_a$. Pertanto qualsiasi sistema dissipativo preserva il volume dell'attrattore, che è nullo. Per quanto riguarda il cambio di coordinate, poiché l'attrattore è una misura zero impostata, anche l'immagine dell'attrattore sotto qualsiasi mappa liscia sarà misura zero.
Ora come faccio a dimostrare che l'attrattore è una misura impostata a zero ed è una metrica come la misura di Lebesgue? Qualcuno può aiutarci a scrivere formalmente questa prova? Grazie.
Risposte
Quando dicono volume, intendono davvero "misura". Una misura su uno spazio$X$ è una funzione $\mu$ che assegna lunghezze (o aree, o volumi o probabilità - lo spazio specifico $X$ o il contesto di solito determina come pensi di ciò che la misura è, beh, misurare) a soggetti "carini" $X,$ dove "carino" significa in anticipo che qualcuno ha selezionato alcuni sottoinsiemi di $X$che possiamo misurare. Questi sono chiamati insiemi misurabili.
Una cartina $T : X\rightarrow X$ si dice che sia $\mu$-invariant if (a) ogni volta $S$ è misurabile, così è $T^{-1}(S)$, e B) $\mu(T^{-1}S) = \mu(S)$ ogni volta $S$ è misurabile.
Quanto a come controllarlo, dipende molto dai particolari. Un trucco incredibilmente comune e utile è che non è necessario verificare che le condizioni (a) o (b) valgano per ogni sottoinsieme misurabile - se controlli (a) e (b) su una famiglia di insiemi che "genera" la raccolta di set misurabili, quindi puoi concludere che vale ovunque. Ad esempio, se il tuo spazio fosse$X = [0, 1]$ con la solita "misura di Lebesgue" che assegna un sottoinsieme di $X$ è lunghezza, basterebbe verificarlo $T$ conserva le misure degli intervalli.
Un paio di cose:
- Notare la nota sotto l'equazione 2:
I sistemi dissipativi hanno attrattori, mentre i sistemi a risparmio di volume non possono avere attrattori né repulsori.
Questo è vero nel senso in cui "volume" indica la misura di Lebesgue, cioè la normale definizione di volume attivo $\mathbb{R}^n$. Gli attrattori sono necessariamente di dimensione inferiore allo spazio delle fasi stesso, quindi il suo volume (nel senso di Lebesgue) deve essere 0; ad esempio, il volume di una superficie in$\mathbb{R}^3$è 0 poiché la superficie è bidimensionale. Forse questa conservazione del volume è banale perché l'attrattore ha necessariamente volume Lebesgue zero.
Quindi questo sembra rispondere alla tua domanda in apparenza. Tuttavia, le dinamiche su strani attrattori sono tipicamente ergodiche , che è la sezione che stai leggendo nel primo articolo di Wikipedia. Le dinamiche ergodiche hanno tipicamente qualcosa chiamato misura invariante , il che significa che esiste una nozione di volume (la misura) che è preservata dalla dinamica (invariante). Pertanto, se è possibile parametrizzare l'attrattore, ovvero trovare un cambiamento di coordinate da$\mathbb{R}^n$ all'attrattore, quindi "volume" nel senso della misura invariante dell'attrattore e la dinamica sarà effettivamente preservata.