Qual è l'espressione per la convoluzione di una densità uniforme [a, b] e una densità normale (0, d ^ 2)?

Aug 17 2020

Supponiamo che l'abbia fatto$X\sim Uniform[a,b]$e$Y\sim normal(0,d^2)$, qual è l'espressione per la densità di$Z=X+Y$?

Permettere$F_{Z}(z)$essere il cdf di$Z$valutato a$z$, e lascia$\Phi(\cdot)$e$\phi$essere standard normale cdf e pdf rispettivamente. ho ottenuto

$F_{Z}(z)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\Phi(\frac{z-x}{d})dx$,

differenziare rispetto a$z$su entrambi i lati dà

$f_{Z}(z)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\phi(\frac{z-x}{d})\frac{1}{d}dx=\frac{1}{b-a}(\Phi(\frac{z-a}{d})-\Phi(\frac{z-b}{d}))$.

Sembra corretto? Grazie!

Risposte

1 BruceET Aug 17 2020 at 11:27

Commento:

Come controllo della realtà ecco una simulazione per la convoluzione di$U \sim \mathsf{Unif}(a=2, b=7)$e$Z \sim \mathsf{Norm}(\mu = 0, \sigma = 3).$

così$E(U+Z) = 4.5 + 0 = 4.5$e$V(U+Z) = 25/12 +9 = 4.0833.$

set.seed(2020)
a = 2;  b = 7;  sg = 3
u = runif(10^6, a, b)
z = rnorm(10^6, 0, sg)
x = u + z
mean(x); mean(u);  mean(z);  mean(u) + mean(z)
[1] 4.497167        # aprx E(X) = 4.5
[1] 4.500343        # aprx E(U) = 4.5
[1] -0.003175144    # aprx E(Z) = 0
[1] 4.497167
var(x); var(u); 25/12; var(z); var(u) + var(u)
[1] 11.08561        # aprx Var(X)
[1] 2.081356        # aprx Var(U) = 25/12
[1] 2.083333        # 25/12
[1] 9.011073
[1] 4.162712

hist(x, prob=T, br=50, col="skyblue2", 
 main="Simulated Density of X")
curve(1/(b-a)*( pnorm((x-a)/sg) - pnorm((x-b)/sg) ),
  add=T, col="red", lwd=2)

Nota: figura rivista dopo la modifica e il commento di OP.