Quali reticoli completi sono isomorfi a un prodotto di reticoli irriducibili?
Dato qualsiasi famiglia di lattici completi $\{\mathcal{L}_i\}_{i\in I}$ st per tutti $i\in I$ denotiamo $\mathcal{L}_i=(X_i,\leq_i,\wedge^i,\lor^i)$ e $X=\prod_{i\in I}X_i$ nota possiamo definire un reticolo completo $\mathcal{L}=\prod_{i\in I}\mathcal{L}_i$ (chiamalo il loro prodotto) su $X$ st $\mathcal{L}=(X,\leq,\wedge,\lor)$, definito per $a,b\in X$ come segue: $a\leq b\iff \forall i\in I(\pi_i(a)\leq_i\pi_i(b))$ anche se $S\subseteq X$ poi $\small\bigwedge_{f\in S}f=\{(i,\bigwedge^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ e $\small\bigvee_{f\in S}f=\{(i,\bigvee^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ inoltre chiamiamo banale qualsiasi reticolo con un elemento e diciamo reticolo completo $\mathfrak{L}$ è irriducibile se non esiste una famiglia di due o più reticoli completi non banali $\{\mathfrak{L}_{i}\}_{i\in I}$ st $\mathfrak{L}\cong \prod_{i\in I}\mathfrak{L}_i$. Detto questo, la mia domanda è: quando i reticoli completi sono isomorfi a un prodotto di reticoli irriducibili? Ad esempio, esistono criteri "elementari" o "utili" per determinarlo? Quali sono gli esempi di reticoli completi che non sono isomorfi a nessun prodotto di reticoli irriducibili? Qualcuno potrebbe darmi alcuni di questi?
Ovviamente qualsiasi reticolo completo finito è isomorfo a un prodotto di reticoli irriducibili, poiché se il reticolo stesso è irriducibile lo abbiamo fatto altrimenti possiamo scomporlo in due reticoli che sono sottoreti del genitore e quindi esprimibili come reticoli su insiemi ciascuno più piccolo del set genitore, quindi ripetere questo processo più e più volte alla fine ci fornirà una famiglia di reticoli irriducibili il cui prodotto è uguale al nostro genitore (questo processo deve terminare perché ciascuno di questi reticoli sarà su set di dimensioni più piccole e per definizione qualsiasi reticolo banale è irriducibile quindi se ci capita di ridurre tale reticolo a un insieme su un elemento abbiamo finito).
Inoltre, se qualsiasi reticolo completo $L_1\cong L_2\times L_3$non è quindi isomorfo a un prodotto di reticoli irriducibili$L_2$ o $L_3$non sono isomorfi a un prodotto di reticoli irriducibili quindi applicando il processo precedente vediamo che ogni reticolo non isomorfo a un prodotto di reticoli irriducibili deve contenere un numero infinito di sottoreti anche non isomorfi a un prodotto di reticoli irriducibili ..
Risposte
Per i reticoli distributivi , esiste un modo abbastanza semplice per comprendere queste domande. Vale a dire, nota che se$L=A\times B$ è un prodotto di due reticoli, gli elementi $(1,0)$ e $(0,1)$ sono complementari l'uno dell'altro (la loro unione è $1$ e il loro incontro è $0$). Al contrario, se$L$ è un reticolo distributivo e $a,b\in L$ sono complementi l'uno dell'altro, quindi $L\cong A\times B$ dove $A=\{x\in L:x\leq a\}$ e $B=\{x\in L:x\leq b\}$. In effetti, esiste una mappa che preserva l'ordine$f:L\to A\times B$ Mappatura $x$ per $(x\wedge a,x\wedge b)$ e la mappa $A\times B\to L$ invio $(x,y)$ per $x\vee y$ è inverso a $f$ da $L$ è distributivo.
Quindi, un reticolo distributivo è irriducibile se e solo se non ha elementi complementari non banali. L'insieme di elementi completati in qualsiasi reticolo distributivo$L$ forma un'algebra booleana che chiamerò $B(L)$. Inoltre, se un reticolo distributivo$L$ è un prodotto $\prod_{i\in I} L_i$, poi $B(L)= \prod_{i\in I} B(L_i)$.
In particolare, se $L$ è un prodotto di reticoli irriducibili (non banali) $\prod_{i\in I} L_i$, poi $B(L)=\prod_{i\in I}B(L_i)\cong \mathcal{P}(I)$, poiché ciascuno $B(L_i)$ è solo il reticolo a due elementi $\{0,1\}$. Inoltre,$L_i\cong\{x\in L:x\leq e_i\}$ dove $e_i\in L$ è $1$ sul $i$th coordinata e $0$ sugli altri e questi elementi $e_i$ sono solo gli atomi dell'algebra booleana $B(L)$. Con questa identificazione, la proiezione$L\to L_i$ è solo la mappa $x\mapsto x\wedge e_i$.
Quindi, concludiamo che un reticolo distributivo $L$ è isomorfo a un prodotto di reticoli irriducibili se e solo se la mappa $f:L\to\prod_{i\in I}L_i$ è un isomorfismo, dove $I$ è l'insieme degli atomi di $B(L)$, $L_i=\{x\in L:x\leq i\}$, e il $i$coordinata esima di $f$ è la mappa $x\mapsto x\wedge i$. Se$L$ è completo, questi $L_i$sarà automaticamente completo anche. In particolare, una condizione necessaria per$L$ essere isomorfo a un prodotto di reticoli irriducibili è per $B(L)$ essere isomorfo all'algebra booleana di un insieme di potenze.
Quindi, ad esempio, se $L$ è un'algebra booleana completa che non è isomorfa a un insieme di potenze, quindi $L$non è un prodotto di reticoli irriducibili. Per un esempio esplicito,$L$ potrebbe essere il reticolo di sottoinsiemi aperti regolari di $\mathbb{R}$, o il reticolo dei sottoinsiemi Borel di $\mathbb{R}$ insiemi modulo di misura di Lebesgue $0$. Per un diverso tipo di esempio,$L$potrebbe essere il reticolo di sottoinsiemi aperti dell'insieme di Cantor. Poi$B(L)$ è l'algebra booleana dei sottoinsiemi clopen dell'insieme di Cantor, che è atomless (e in effetti non è nemmeno completa).
Per un esempio dove $B(L)$ è un set di potenza ma $L$ non è ancora un prodotto di reticoli irriducibili, potresti prendere $L$ essere il reticolo di sottoinsiemi aperti di $\beta\mathbb{N}$. Poi$B(L)\cong\mathcal{P}(\mathbb{N})$, ma i suoi atomi sono i singleton $\{n\}$ per $n\in\mathbb{N}$ quindi la mappa $L\to\prod_{i\in I}L_i$ come descritto sopra è la mappa $L\to\mathcal{P}(\mathbb{N})$ inviando un sottoinsieme aperto di $\beta\mathbb{N}$ alla sua intersezione con $\mathbb{N}$, che non è iniettiva.