Quando è possibile utilizzare l'identità di Parseval-Plancherel per risolvere un integrale?
L'integrale è della forma $\int_{-\infty}^\infty \sigma(x)\mu(x)\,\mathrm{d}x$. Dove la trasformata di Fourier del$\sigma$ la funzione è $\tilde \sigma(p)= e^{-iap}\frac{1}{1+e^{-c|p|}}$ e la funzione $\mu(x)$ è dato da $\mu(x)=-2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-2}{c}\right)$.
La trasformata di Fourier di $\mu(x)$ può essere trovato abbastanza facilmente $\tilde \mu(p)=\frac{e^{-i p} \left(2 i \pi e^{-\frac{c | p| }{2}}\right)}{p}$.
La domanda è:
È possibile utilizzare l'identità Parseval-Plancherel e scrivere l'integrale di cui sopra come $\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^\infty \tilde\sigma(p)\tilde \mu(p)\,\mathrm{d}p$?
In tal caso, l'integrale di cui sopra diventa $\frac{i}{2}\int_{-\infty}^\infty dp \frac{ e^{-i (a+1) p} \text{sech}\left(\frac{c p}{2}\right)}{p}$
Che sembra una trasformata di Fourier di $\frac{sech(\frac{cp}{2})}{p}$funzione. Come viene calcolata questa trasformata di Fourier?
Risposte
Ricorda l'identità di cui si trasforma Fourier $K(x)=\text{sech}(x)$ è $\tilde K(p)=\pi \text{sech}\left(\frac{\pi p}{2}\right)$.
Usando questa identità la trasformata di Fourier di $\frac{\text{sech} {x}}{x}$ può essere facilmente calcolato
\ begin {equation} \ int _ {- \ infty} ^ {- \ infty} e ^ {- ixp} \ frac {\ text {sech} {x}} {x} \, \ mathrm {d} x = -i \ int \ pi \ text {sech} \ left (\ frac {\ pi p} {2} \ right) \ mathrm {d} p = -2 i \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left ( \ frac {\ pi p} {2} \ right) \ right) \ label {ident} \ end {equation}
Usando l'equazione di questa relazione, l'integrale dato può essere facilmente integrato
\ begin {equation} \ frac {i} {2} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty dp \ frac {e ^ {- i (a + 1) p} \ text {sech} \ left (\ frac { cp} {2} \ right)} {p} = \ tan ^ {- 1} \ left (\ sinh \ left (\ frac {\ pi (\ Lambda_h + 1)} {| c |} \ right) \ right ) \ label {rest} \ end {equation}
Controllo numerico della risposta. Plot: Costante a Plot Constant c