Quanti numeri razionali $m/n$ sono possibili in determinate condizioni?

Question

Trova il numero di numeri razionali $m/n$, dove $m,n$ sono numeri interi positivi relativamente primi soddisfacenti $m<n$ e $mn=25!$.

Il mio approccio:

Permettere $25!=2^{a_1}3^{a_2}5^{a_3}\ldots19^{a_8}23^{a_9}$

Adesso $\gcd(m,n)\Rightarrow\ $ Se $p|m$ poi $p\not|n$

Caso I :

C'è $1$ fattore primo di $m$
Quindi, il numero di numero razionale $m/n=\binom{9}{1}$

Caso II:

Ci sono $2$ fattore primo di $m$
Quindi, il numero di numero razionale $m/n=\binom{9}{2}$

Caso III:

Ci sono $3$ fattore primo di $m$
Quindi, il numero di numero razionale $m/n=\binom{9}{3}$

Caso IV:

Ci sono $4$ fattore primo di $m$
Quindi, il numero di numero razionale $m/n=\binom{9}{4}$

Se in uno qualsiasi di questi numeri razionali, se $m>n$, quindi lo scambio $m$ e $n$ risulterebbe in un numero razionale valido.

Ad esempio: supponi per alcuni $m=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}$, $m>n$, quindi lo scambio $m$ e $n$ darebbe $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}$, il che significa che adesso $m<n$ dando così un numero razionale valido.

Quindi il numero di possibili numeri razionali è $\binom{9}{1}+\binom{9}{2}+\binom{9}{3}+\binom{9}{4}+1=2^8$

Ora non sono sicuro se sia corretto e il libro a cui mi riferisco non ha fornito una soluzione. Pertanto si prega di controllare questa soluzione e fornire eventuali suggerimenti.

GRAZIE

Answer 1

In base all'aiuto fornito da lulu nei commenti sopra, penso che questa soluzione fornita da lulu potrebbe essere più semplice e migliore:

Permettere $S$ essere l'insieme dei numeri primi $<25$. $$S=\{2,3,\ldots19,23\}$$

Scegliere il fattore $m$ qui è lo stesso che scegliere un sottoinsieme $M\subseteq S$ con $N\subseteq S$ come insieme complementare. $(M\cap N=\phi)$

Da $S$ ha $9$ elementi, il numero di tali sottoinsiemi $M=2^9$.

Anche $M\neq N$ o $m\neq n$ da $\gcd(m,n)=1$.

Dopo aver preso in considerazione la condizione $m<n$, il numero di tali sottoinsiemi $M$ e da qui i numeri razionali $=2^9/2=2^8$