Quantificazione sostitutiva in teoria degli insiemi

Question

C'è una formula unaria $\phi$ nel linguaggio della teoria degli insiemi con le seguenti proprietà:

(io) $ZFC \vdash (\exists x)\phi(x)$

(ii) per ciascuna formula unaria $\psi$ nel linguaggio della teoria degli insiemi per cui $ZFC \vdash (\exists! x)\psi(x)$, noi abbiamo $ZFC \vdash (\forall x)(\psi(x) \rightarrow \neg \phi(x))$

Answer 1

No, una tale formula non esiste. Il motivo è che in$L$, l'universo costruibile, c'è un ben ordinamento definibile $<_L$dell'universo. Quindi, per qualsiasi formula$\phi$ tale che $L\models\exists x\,\phi(x)$, c'è una formula $\psi_\phi$ tale che $L\models\exists!x\,\psi_\phi(x)$ e $L\models\forall x\,(\psi_\phi(x)\to\phi(x))$, vale a dire, $\psi_\phi(x)$ afferma che $x$ è il $<_L$-primo testimone $\phi$.

Sostituendo la tua teoria con $\mathsf{ZFC}+V\ne L$ non aiuta neanche, dato che possiamo sempre usare la forzatura di classe per fare $V=HOD$, la classe degli elementi definibili ordinali ereditari, nel qual caso abbiamo di nuovo un ben ordinamento definibile dell'universo.

D'altra parte, è coerente che esista una formula come suggerisci. Non in modo dimostrabile, ovviamente, come appena indicato, ma che qualche modello$M$ soddisfa le versioni di (i) e (ii) nel tuo post con ciascuna "$\mathsf{ZFC}\vdash$"sostituito con"$M\models$". Vale a dire, lascia $g$ essere un vero generico di Cohen $L$e considera $M=L[g]$ e $\phi(x)$ l'affermazione che $x$ è Cohen-generico finito $L$.