Questo valore atteso è valutato correttamente?

Aug 21 2020

Permettere$p$essere una probabilità di apparire lato inferiore della moneta e$q=1-p$essere una probabilità di apparire sul lato superiore della moneta. Lanciamo la moneta al momento$N$di apparire il lato inferiore due volte negli ultimi due lanci. Sono obbligato a trovare il valore atteso della variabile casuale$N$(ad esempio se$N=3$quindi il lato inferiore della moneta apparirebbe nel secondo e terzo lancio).

La mia soluzione:

Ho usato ovviamente la definizione di valore atteso per caso discreto$$EX=\sum\limits_{i=1}^{\infty} x_i p_i. $$Per variabile casuale$N$noi abbiamo$EN=1\cdot 0 +2\cdot p\cdot p+3\cdot q\cdot p\cdot p+4\cdot 1 \cdot q\cdot p \cdot p+\ldots=\sum\limits_{i=2}^{\infty}i q p^2 .$

Se questo ragionamento è corretto è possibile valutare in qualche modo la serie che ho ricevuto? Non so se è la soluzione definitiva.

Risposte

1 drhab Aug 21 2020 at 19:26

Come commentato, il tuo approccio non va bene.

Suggerimento :

Permettere$Y$denotare il numero di tentativi necessari per arrivare al primo lato superiore.

Quindi:$$\mathbb EN=$$$$P(Y=1)\mathbb E[N|Y=1]+P(Y=2)\mathbb E[N|Y=2]+P(Y>2)\mathbb E[N|Y>2]\tag1$$Qui:

  • $\mathbb E[N|Y=1]=1+\mathbb EN$
  • $\mathbb E[N|Y=2]=2+\mathbb EN$
  • $\mathbb E[N|Y>2]=2$

(vedi perché?)

In combinazione con le informazioni menzionate nell'uguaglianza dei punti elenco$(1)$ti permette di trovare$\mathbb EN$.