Relazioni tra un poligono convesso e un'ellisse

Aug 20 2020

Permettere $F$ essere delimitato poligono convesso sul piano.

  1. Come possiamo giustificare che esiste il cerchio $K$ st se contiene un'ellisse $F$ e non è contenuto in $K$, allora il campo di questa ellisse è maggiore di $1$?

  2. Come mostrare che esiste almeno un'ellisse il cui campo è il minimo e che contiene un poligono $F$?

Non ho idee sensate.

Risposte

1 RickyTensor Aug 20 2020 at 22:49

Per 1: disegna un piccolo cerchio $C$ all'interno di $F$. Permettere$r$ essere il raggio di $C$. Qualsiasi ellisse che contiene$F$ deve contenere $C$. Inoltre, il semiasse minore di qualsiasi ellisse che contiene$C$ deve essere almeno $r$. Adesso disegna$K$ concentrico con $C$, in modo che il raggio $R$ di $K$ è almeno $\frac{1}{\pi r}$. Ora per un'ellisse non essere completamente contenuta in$K$, deve estendersi almeno per una distanza $R$dal centro. E qualsiasi ellisse che contiene$F$deve contenere anche il centro. Quindi un'ellisse che contiene entrambi$F$ e non è contenuto $K$ deve avere un semiasse maggiore di almeno $R$, poiché il semiasse maggiore è il più lontano che due punti in un'ellisse possono essere l'uno dall'altro. Quindi l'ellisse deve avere un semiasse maggiore di almeno$\frac{1}{\pi r}$ e un semiasse minore di almeno $r$, e quindi la sua area deve essere almeno $\pi r \frac{1}{\pi r} = 1$.

Per 2: ti darò solo un suggerimento, così avrai la possibilità di pensare al problema (e anche io sono pigro). Pensa di allungare il poligono in una direzione e di comprimerlo nell'altra della stessa quantità. Questa trasformazione conserva l'area. Inoltre trasforma un poligono convesso in un altro poligono convesso. Per ogni ellisse, esiste una trasformazione di allungamento / compressione che preserva l'area che la trasforma in un cerchio. Anche questo:https://en.wikipedia.org/wiki/Extreme_value_theorem Si spera che sia sufficiente per darti qualche idea.