Rinormalizzazione sullo sfondo curvo

Aug 24 2020

Supponiamo di avere una teoria dei campi su uno sfondo curvo e il tensore metrico $g_{\mu \nu} (x)$è una funzione regolare della posizione. Per semplicità, consideriamo una teoria scalare con lagrangiana:$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{2} g^{\mu \nu} \partial_\mu \phi \ \partial_\nu \phi + V(\phi) $$ In generale, la funzione Green per questo operatore può sembrare poco attraente ed è improbabile che le espressioni per gli integrali di loop vengano trattate in modo analitico.

Tuttavia, la rinormalizzazione è a $UV$-effetto, e guardando i processi fisici a distanze, molto più piccole della scala caratteristica, su cui $g_{\mu \nu} (x)$ modifiche, sembrerà approssimativamente costante.

Ha senso applicare una procedura di rinormalizzazione a livello locale , ovvero:

  1. Ad ogni punto $x$ - impostato $g_{\mu \nu}$ essere una costante
  2. Quando si integra per parti per ottenere un propagatore trascura tutti i termini con derivati ​​che agiscono $g_{\mu \nu}$
  3. Diagonalizza la matrice risultante (funzione verde) nello spazio della quantità di moto, che ora avrebbe la forma $A^{\mu \nu} (x) k_\mu k_\nu$ (nessuna sommatoria $\mu, \nu$ è assunto)
  4. Applicare le regole di Feynman in quella base a livello locale

Di conseguenza, mi aspetto che le costanti di accoppiamento dipendono dalla posizione $x$In un certo modo. Oppure si deve lavorare con l'esatta funzione Green per ottenere qualcosa di significativo?

Risposte

2 Dwagg Aug 26 2020 at 02:20

Per quanto riguarda la procedura in 4 punti: l'utilità delle regole di Feynman momento-spazio deriva dall'invarianza di traslazione dell'azione, che si perde in un'azione con una metrica statica $g_{\mu\nu}(x)$ (per non parlare del fattore generale $\sqrt{-g}$). Ad esempio, non abbiamo alcuna funzione delta che conservi lo slancio. E trascurando tutti i termini con i derivati ​​che agiscono$g_{\mu\nu}$ mentre il calcolo delle correzioni perturbative alla funzione di Green sembra un'approssimazione incontrollata.

Tuttavia, la rinormalizzazione è un effetto UV e qualcosa della procedura dello spazio piatto dovrebbe sopravvivere, come hai detto. Non posso dare una risposta completa, ma vedo due possibili modi per procedere:

  • QFT standard su uno sfondo curvo (cfr Carroll per esempio). Scegli una direzione simile al tempo, risolvi l'equazione classica di Klein-Gordon (per la lagrangiana troncata gaussiana) e ottieni un set completo di modi$f_i(x^\mu)$ortonormale sotto il prodotto interno KG. L'indice$i$può essere continuo o discreto. Espandi il campo$\phi = \sum_i (a_i f_i + a_i^* f_i^*)$e quantizzarlo come al solito. La funzione del verde è$G(x,y) = \sum_i f_i(x) f_i^*(y)$. Ora puoi procedere con le regole di Feynman spazio-posizione da tenere in considerazione$\sqrt{-g} V(\phi)$ correzioni.
  • Se $g_{\mu\nu}\approx\eta_{\mu\nu}$ allora potresti approssimare la tua lagrangiana come $-\frac12 \eta^{\mu\nu} \partial_\mu \phi\partial_\nu \phi + \lambda(x) \tilde V(\phi,\partial \phi)$ dove $\tilde V$ ora contiene parti del termine cinetico e $V(\phi)$. Sembra che tali teorie non siano state studiate molto ( uno studio ). Ma in linea di principio non c'è nulla che ti impedisca di procedere con le regole di Feynman nello spazio di posizione . Se$|\lambda(x)|$è limitato si potrebbe anche sostenere che la teoria delle perturbazioni è valida (in qualunque misura sia tipicamente). Lo studio che ho citato risolve le correzioni di 1 loop al file$\lambda x^\kappa \phi^4$ perturbazione di accoppiamento quartico, dove gli integrali non sono troppo difficili e trova un punto fisso RG.