Risoluzione di un sistema di equazioni non lineari: mostra unicità o molteplicità di soluzioni

Aug 19 2020

Considera questo sistema di $12$ equazioni $$ \left\{\begin{array}{rcrclr} \alpha^{2}p_{i} & + & \left(1 - \alpha\right)^{2}\left(1 - p_{i}\right) & = & c_{i}, & \forall i =1,2,3,4 \\[1mm] \alpha\left(1 - \alpha\right)p_{i} & + & \left(1 - \alpha\right)\alpha\left(1 - p_{i}\right) & = & d_{i}, & \forall i =1,2,3,4 \\[1mm] \left(1 - \alpha\right)^{2}p_{i} & + & \alpha^{2}\left(1 - p_{i}\right) & = & e_i, & \forall i =1,2,3,4 \end{array}\right. $$ dove

  • $\alpha \in \left[0,1\right]$

  • $p_{i} \in \left[0,1\right]$ $\forall i = 1, 2, 3, 4$

  • $c_{i}, d_{i}, e_{i}$ sono numeri reali $\forall i = 1, 2, 3, 4$.

Voglio mostrare che questo sistema di equazioni ha (o non ha) una soluzione unica rispetto a $\alpha, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$. Potresti aiutare ?.



Questo è quello che ho provato e dove sono impilato. Permettere $i = 1$. Dalla seconda equazione, otteniamo $$ \alpha - \alpha^{2} = d_{1} $$ che dà $$ \alpha_{\left(1\right)} = \frac{1 + \sqrt{1 - 4d_{1}}}{2},\quad \alpha_{\left(2\right)} = \frac{1 - \sqrt{1 - 4d_{1}}}{2} $$ Dalla prima equazione si può ricavare $p_{1}$. Da altre equazioni, immagino che si possa ottenere analogamente $p_{2}, p_{3}, p_{4}$.

È sufficiente per dimostrare che il sistema non ha una soluzione unica? Oppure c'è un modo per escluderne uno tra$\alpha_{\left(1\right)},\alpha_{\left(2\right)}$ ?

Risposte

3 AlexRavsky Aug 22 2020 at 01:01

Come hai notato, le seconde quattro equazioni si riducono a $\alpha-\alpha^2=d_i$. Quindi la condizione necessaria affinché il sistema abbia una soluzione è$0\le d=d_1=d_2=d_3=d_4\le \frac 14$. Le restanti equazioni si riducono a$$p_i(2\alpha-1)=c_i-(\alpha-1)^2=\alpha^2-e_i.$$ Segue $2\alpha^2-2\alpha=c_i+e_i-1=-2d_i$. Questa è un'altra condizione necessaria affinché il sistema abbia una soluzione. Assumiamo che entrambi i gruppi di condizioni necessariamente valgano. Ora sono possibili i seguenti casi.

1)) $d=\tfrac 14$. Poi$\alpha=\tfrac 12$. Poi$p_i$ sono indeterminati dal sistema e ha una soluzione (non univoca) iff $e_i=\alpha^2=\frac 14$ per ciascuno $i$

2)) $0\le d<\frac 14$. Poi ci sono due scelte possibili$\alpha_1$ e $\alpha_2$ per $\alpha$ e

$$p_i=\frac{\alpha^2-e_i}{2\alpha-1}=\frac{\alpha-d-e_i}{2\alpha-1}=\frac 12+\frac{1/2-d-e_i}{2\alpha-1}.$$

abbiamo $p_i\in [0,1]$ iff $|1-2d-2e_i |\le |2\alpha-1|=|2\alpha_j-1|$ per ciascuno $i$. Se questa condizione fallisce per alcuni$i$, quindi il sistema non ha soluzioni. Altrimenti ha due soluzioni, una per ciascuna$\alpha_j$.