Scomponi il polinomio simmetrico $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ in polinomi simmetrici elementari.

Question

Il metodo che sto tentando di utilizzare coinvolge entrambi (quando non tutti gli esponenti sono uguali, ad esempio $\Sigma{x_1x_2^2}$) estraendo ripetutamente il monomio con i massimi esponenti uguali possibili (quindi per l'esempio di esponente disuguale sopra $(\Sigma{x_1})(\Sigma{x_1x_2})$) o spostando l'esponente fuori dalla sommatoria quando tutti gli esponenti sono uguali, come nel titolo della domanda, cioè quello di cui sto chiedendo, quindi il primo passo qui è $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3^2}$ = $(\Sigma{x_1x_2x_3})^2$. Ovviamente questo è$E_3^2$, insieme ai termini che devono essere sottratti, in base a quante variabili sono in comune tra i 2 $E_3$è dentro $E_3^2$: 0, 1 o 2. Se nessuno è in comune, puoi utilizzare uno dei due $E_3$E 'da determinare la scelta di 3 sul totale di 6 indeterminati, quindi tale termine è $2E_6$. Il mio pensiero era, se 1 indeterminato è in comune, ottieni un'espressione che deve essere ulteriormente scomposta, ad es$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$, che verrà moltiplicato per $E_2$. Allo stesso modo, se se 2 indeterminati sono in comune si ottiene un'espressione che deve essere ulteriormente scomposta, ad es$\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$, che verrà moltiplicato per $E_1$. Finora il mio tentativo di risolvere questo problema sembra essere diretto verso la risposta del libro, che è$E_3^2 + 2E_1E_5 - 2E_2E_4 -2E_6$. Ma il mio prossimo passo verso un'ulteriore decomposizione$\Sigma{x_1^2x_2x_3}$ e $\Sigma{x_1^2x_2^2x_3}$ ha portato a termini molto più complicati, senza alcuna cancellazione che potrei vedere portare a un insieme più semplice di termini che coinvolgono solo $E_1E_5$, $E_2E_4$, e $E_6$ per sottrarre $E_3^2$. Inoltre, il libro aggiunge il file$E_1E_5$termine a ritroso, suggerendo che c'è una sequenza di decomposizioni che sto sbagliando, forse che coinvolge la cancellazione. Qualcuno può mostrare dove sto sbagliando?

Answer 1

La chiave del tuo errore è che ogni set di file $E_6$ non viene fuori solo due volte, ma in realtà viene fuori ${6 \choose 3} = 20$volte. D'altra parte, dato un$\sum x_1^2x_2x_3x_4x_5$ ci sono effettivamente ${4 \choose 2} = 6$ modi per impostare la stessa espressione, mentre $\sum x_1^2x_2^2x_3x_4$ha solo due modi per essere impostato. Inoltre, i nuovi monomi creati non sono semplici come i tuoi esempi, il che è facile da vedere poiché l'intera espressione dovrebbe essere di grado 6.

Per spiegare, dato un monomio $abcdef$ nel $E_6$, puoi creare questo monomio tramite $abc \cdot def$, $abd \cdot cef$, ecc. Tutti i modi di scegliere 3 elementi da 6 opere. Dato$abcde^2$ nel $E_5E_1$, puoi creare il monomio attraverso $abe \cdot cde$, $ace \cdot bde$, ecc. Tutti i modi di scegliere 2 elementi da 4 opere. Questo processo esatto viene utilizzato per determinare i coefficienti nel calcolo seguente.

Poiché questo calcolo è così soggetto a errori, eseguirò l'intero calcolo dall'inizio alla fine, quindi puoi verificare i risultati con questi passaggi.

Notazione: $S_n = E_n, P_{a, b, c, ...} = \sum \limits_{\text{sym}} x_1^ax_2^bx_3^c...$, dove $S_n$ è una notazione alternativa per polinomi simmetrici elementari e $P_{a,b,c...}$ è l'abbreviazione di tipo Muirhead.

$P_{2,2,2} = S_3^2 -2P_{2,2,1,1} - 6P_{2,1,1,1,1} - 20S_6$ (Risultato 1)

$P_{2,2,1,1} = S_2S_4-4P_{2,1,1,1,1}-15S_6$ (Risultato 2)

$P_{2,1,1,1,1} = S_1S_5-6S_6$ (Risultato 3)

$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2P_{2,1,1,1,1} +10S_6$ (Utilizzando i risultati 1 e 2 -> risultato 4)

$P_{2,2,2} = S_3^2 -2S_2S_4 + 2S_1S_5 - 2S_6$ (Utilizzando i risultati 4 e 3 -> Rispondi)

E abbiamo finito. Tutto ciò è un lavoro accurato e un calcolo, niente di folle.