Se complesso l'azione di un gruppo di Lie compatto su uno spazio vettoriale reale fd, le orbite sono chiuse?

Question

Permettere $G$ sii un gruppo di Lie compatto e lascia $V$ essere uno spazio vettoriale reale di dimensione finita con un'azione fedele di $G$ dato da un incorporamento di un gruppo di Lie $G\hookrightarrow GL_\mathbb{R}(V)$. Quindi le orbite di$G$ in $V$ sono chiusi, perché sono compatti, perché sono le immagini dello spazio compatto $G$ sotto la mappa continua $g\mapsto gv$ ($v\in V$ fisso).

Nel frattempo, $G$ può essere visto come un gruppo algebrico definito sopra $\mathbb{R}$ (In effetti, un sottoinsieme chiuso da Zariski di $GL_\mathbb{R}(V)$). (L'ho imparato dal libro di Onischchik e Vinberg Lie Groups and Algebraic Groups , Cap. 3, Sez.4, Thm. 5.) Poi la mappa delle azioni$G\times V\rightarrow V$ è una mappa polinomiale definita sopra $\mathbb{R}$ perché la moltiplicazione di una matrice per un vettore è polinomiale nelle coordinate.

La complessificazione $G_\mathbb{C}$ di $G$ è riduttivo e ogni gruppo algebrico riduttivo è finito $\mathbb{C}$nasce in questo modo. (Di nuovo, Onishchik e Vinberg, questa volta cap. 5, sez. 5, Thm. 12.)

In generale, $G_\mathbb{C}$ non è necessario agire su a $\mathbb{C}$-spazio vettoriale con orbite chiuse. Ad esempio se$G=S^1$, il gruppo del cerchio, quindi $G_\mathbb{C}$ è $GL_1(\mathbb{C})$, la cui azione aumentando $\mathbb{C}^n$ notoriamente ha l'origine contenuta nella chiusura di ogni orbita.

Tuttavia, per quanto riguarda specificamente l'azione di $G_\mathbb{C}$ sopra $V_\mathbb{C}:=\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R} V$, definito semplicemente modificando la base della mappa d'azione originale $G\times V\rightarrow V$ per $\mathbb{C}$?

Sono le orbite di $G_\mathbb{C}$ sopra $V_\mathbb{C}$ chiuso?

In sintesi, se l'azione di un gruppo algebrico riduttivo finisce $\mathbb{C}$ su a $\mathbb{C}$-lo spazio vettoriale nasce complessando l'azione della sua forma reale compatta su uno spazio vettoriale reale, ha orbite chiuse?

(Penso che la risposta dovrebbe essere sì, basata sull'elaborazione del caso di $S^1\cong SO(2)$canonica azione su $\mathbb{R}^2$ a mano, e un po 'di logica ondulata che coinvolge il fatto che la mappa d'azione è definita $\mathbb{R}$, ma è molto lontano dall'essere un vero argomento. Grazie in anticipo per il vostro aiuto.)

Addendum: come nota Moishe Kohan nei commenti, la mia conclusione per$SO(2)$era effettivamente sbagliato. Anche per questa azione le orbite non sono tutte chiuse. (L'ho scritto come risposta per avere qualcosa da accettare.) Questo probabilmente non interessa tranne che per me, ma qui registrerò come sono arrivato a questa falsa conclusione:

• Ho visto $G$la struttura della varietà come proveniente dal ring $\mathbb{R}[x,y]/(x^2+y^2-1)$.
• Poi $G_\mathbb{C}$La struttura varietale nasce da questo anello tensorato fino al $\mathbb{C}$, che è isomorfo a $\mathbb{C}[t,t^{-1}]$ attraverso $t=x+iy$.
• Quindi, ho parametrizzato le orbite dell'azione in termini di $t$. Avevano coordinate con forme simili$(t+t^{-1})u+i(t-t^{-1})v$.
• L'ho ragionato come $t\to 0,\infty$, uno di $t$ o $t^{-1}$ esploderà sempre, quindi queste coordinate esploderanno sempre, tranne se $u=v=0$. (Falso! Vedere il punto successivo.) Quindi le orbite diverse da zero si estendono tutte all'infinito come$t\to 0,\infty$, quindi come otterremo i punti limite da $t\to 0,\infty$? Quindi le orbite sono chiuse. (Di nuovo, falso, vedi sotto.)
• Anche se funziona per la maggior parte delle orbite, non l'ho considerato $u$ e $v$ può essere scelto per rendere il file $t$è o il $t^{-1}$si annulla. Quindi scelte speciali di$u$ e $v$ avrà coordinate con forme come $t$ o $t^{-1}$, dove ottieni 0 come punto limite (come $t\to 0,\infty$rispettivamente). [In effetti, le scelte speciali di$u$ e $v$ sono gli autovettori dell'azione.]

Answer 1

Moishe Kohan osserva nei commenti che la risposta è no, anche sulla base dell'esempio citato nel PO.

La complessificazione dell'azione canonica di $S^1$ sopra $\mathbb{R}^2$ è isomorfo all'azione di $\mathbb{C}^\times$ sopra $\mathbb{C}^2$ tramite le matrici diagonali

$$\begin{pmatrix}\alpha & \\ &\alpha^{-1}\end{pmatrix}, \;\alpha\in\mathbb{C}^\times.$$

Le matrici di rotazione sono simultaneamente diagonalizzabili $\mathbb{C}$, con autovettori $(1,i)$ e $(1,-i)$. La rotazione attraverso$\theta\in [0,2\pi)$ ha autovalori $e^{i\theta}$ e $e^{-i\theta}$rispettivamente. Quindi lasciare$\alpha = e^{i\theta}$, otteniamo l'azione appena descritta. Sto omettendo i dettagli.

Questa azione non ha orbite chiuse. La maggior parte delle orbite sono chiuse, ma due delle orbite sono i due spazi lineari unidimensionali attraversati dagli autovettori dell'azione, meno l'origine. Quindi, anche in questo caso, l'azione di$G_\mathbb{C}$ non ha orbite chiuse.