Se $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, com'è max { $f$, $g$} definito?

Aug 20 2020

Attualmente sto leggendo un libro di testo sugli spazi metrici e mi sono imbattuto nella seguente terminologia per due funzioni che non riesco a trovare da nessuna parte come sia definita.

Permettere $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, com'è max {$f$,$g$} definito? allo stesso modo, come fa min {$f,g$} definito?

Sto pensando per max {$f$,$g$}: questo significa semplicemente prendere i valori massimi di $f$ e $g$e max {$f$,$g$} è costituito da tutti questi valori. Allo stesso modo, per prendere i valori minimi di$f$ e $g$e min {$f,g$} è costituito da tutti questi valori.

La motivazione per questo è che mi sono imbattuto in un problema in cui chiedeva: date due metriche $d_1$ e $d_2$ (per $(X_1,d_1)$ e $(X_2,d_2)$rispettivamente) è max {$d_1$,$d_2$} una metrica su $X_1 \times X_2$? Tuttavia, per iniziare a rispondere a questa domanda, ho bisogno di definire la terminologia con la quale non ho familiarità.

Risposte

3 VictorHugo Aug 20 2020 at 20:53

Per ogni fisso $x$, $\max\{f(x),g(x)\}$ è il numero più grande tra i due numeri reali $f(x)$ e $g(x)$. Definire$\varphi(x)=\max\{f,g\}(x)=\max\{f(x),g(x)\}$ è possibile dimostrarlo $ \varphi(x)=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]$.

2 EricTowers Aug 20 2020 at 20:54

Questo segue il solito modello per l' aritmetica delle funzioni .

  • $f+g$ è la funzione $x \mapsto f(x) + g(x)$.
  • $f-g$ è la funzione $x \mapsto f(x) - g(x)$.
  • $f\cdot g$ è la funzione $x \mapsto f(x) \cdot g(x)$.
  • $f/g$ è la funzione $x \mapsto f(x) / g(x)$.
  • $\max\{f,g\}$ è la funzione $x \mapsto \max \{f(x), g(x)\}$.

Ovvero, le espressioni di funzione collegano tutti gli slot delle variabili di dominio a un singolo slot di dominio.

1 Cornman Aug 20 2020 at 20:55

È definito come ci si aspetterebbe. Tieni presente che hai delle funzioni$f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$

Quando valuti entrambe le funzioni in $x$ottieni un numero reale. Quindi puoi prendere$\max\{f(x),g(x)\}$, e non è necessaria una definizione speciale, perché tutto accade sui reali, e sono sicuro che hai definito il massimo.

Inoltre tienilo a mente $\max(x,y)=\min(-x,-y)$, quindi non hai bisogno di una seconda definizione.

E il massimo di due reali è definito come:

$\max(x,y)=\begin{cases}x,~\text{if}\quad y\leq x\\ y~~~\text{else}\end{cases}$

1 user798202 Aug 20 2020 at 21:15

Come mostrano molte altre risposte, $\max\{f,g\}$è definito in modo puntuale .

Per il problema che ti motiva, trova una risposta a questa domanda: un massimo di due metriche è una metrica

АлександрПальма Aug 20 2020 at 20:56

Date due funzioni $f,g: X\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, possiamo definire il massimo $\max(f,g):X\to \mathbb{R}$ di $$\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x)),$$e il loro minimo $\min(f,g)(x):X\to \mathbb{R}$ di $$\min(f,g)(x):=\min(f(x),g(x)).$$