Se $M$ è un modello di classe standard di ZFC isomorfo a $V$, allora è $M = V$?
Considera la seguente dichiarazione: (T) "If $M$ è un modello di classe standard di ZFC isomorfo a $V$, poi $M = V$. "L'istruzione (T) è equivalente a:" Se il collasso transitivo di un modello di classe standard $M$ di ZFC è uguale a $V$, poi $M = V$. "Questo perché il collasso transitivo di una classe $M$ è l'unica classe transitiva a cui è isomorfa dal punto di vista dell'elemento $M$.
Qui, per modello di classe standard di ZFC intendo un modello di classe di ZFC la cui relazione di elementhood è la relazione di elementhood reale.
Supponiamo che ZFC sia coerente. ZFC dimostra (T)? ZFC smentisce (T)? Se no a entrambi, ZFC con qualche grande assioma cardinale aggiuntivo smentisce (T)?
Risposte
No. Definisci $F:V\to V$ di $\in$-ricorsione come $F(x)=\{F(y):y\in x\}\cup\{\emptyset\}$. Chiaramente$F(x)$ non è vuoto per tutti $x$. Anche,$F$ è iniettiva: if $F(x)=F(x')$, quindi per induzione $\max(\operatorname{rank}(x),\operatorname{rank}(x'))$ possiamo presumere $F$ è iniettiva su $x\cup x'$. Da$F(x)=F(x')$ noi dobbiamo avere $\{F(y):y\in x\}=\{F(y):y\in x'\}$, ma da allora $F$ è iniettiva su $x\cup x'$ ciò implica $x$ e $x'$ hanno gli stessi elementi e quindi $x=x'$. Anche chiaramente$y\in x$ implica $F(y)\in F(x)$e il contrario segue dall'iniettività di $F$.
Presi tutti insieme, questo lo dimostra $F$ è un isomorfismo da $(V,\in)$ per $(M,\in)$ dove $M$ è l'immagine di $F$. Ma$M\neq V$, da $\emptyset\not\in M$.