Se$(\mathbb{Z}_n\setminus\{0\}, \otimes)$è un gruppo, provalo$n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$è primo.

Question

Permettere$n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$. Definire la classe di congruenza$\overline x$come

$$\overline x = \{c\in\mathbb{Z}\;|\; c-x\equiv0\pmod{n}\}$$

Definire$\mathbb{Z}_n$, l'insieme di tutte le classi di congruenza modulo$n$:

$$\mathbb{Z}_n = \{\overline0, \overline1, \ldots, \overline{n-1}\}$$

Infine, definire l'operazione$\otimes$come

$$\overline{a} \otimes \overline{b} = \overline{a\times b}$$

dove$a\times b$rappresenta la moltiplicazione regolare in$\mathbb{Z}$.

Usando il teorema di Bezout (Let$a,b\in\mathbb{z}$, poi$\gcd(a, b) = 1 \iff \exists u, v\in\mathbb{Z}$tale che$au+bv = 1$.) dimostrare che se$(\mathbb{Z}_n\setminus\{0\}, \otimes)$allora è un gruppo$n$è primo.

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Il mio tentativo:

Prendi un$\overline x\in\mathbb{Z}_n\setminus\{0\}$. Il set$\overline x$contiene tutto$c\in\mathbb{Z}$che soddisfano la seguente congruenza:

$$c-x \equiv0\pmod{n}$$

In altre parole,

$$x \equiv c\pmod{n}$$

Pertanto, per alcuni$m\in\mathbb{Z}$,

$$c^{-1}\cdot x \equiv 1\pmod{n} \implies c^{-1}\cdot x = 1 + m\cdot n$$

Riorganizzando questo e usando il teorema di Bezout, otteniamo

$$c^{-1}\cdot x - m\cdot n = 1 \implies \gcd(x, n) = 1$$

Da$\overline{x}$è stato preso arbitrariamente, possiamo dirlo$n$è primo.

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Commenti:

Non penso che sia corretto perché non ho davvero usato assiomi di gruppo e ho assunto$c^{-1}$esiste.

Potresti individuare dove ho sbagliato?

Answer 1

Gli assiomi di gruppo lo richiedono$c^{-1}$esiste, quindi ne hai usato uno. Penso che un approccio più semplice sia dire che if$n$non è primo, puoi scomporlo in due numeri$a,b \in \Bbb Z_n$. Quindi l'operazione di moltiplicazione non è definita per$a \otimes b$, quindi non è un gruppo.