Semplice esempio di$\sigma$-campo generato da una variabile casuale (Concept check)

Question

$\Omega = \{ {\omega_1, \omega_2,\omega_3} \}$dove ogni stato è ugualmente probabile.

Esistono due variabili casuali$\widetilde{x}$e$\widetilde{y}$che sono funzioni di questi stati:

$\widetilde{x}(\omega_i)=a_i$dove$a_1 \neq a_2 \neq a_3$

e

$\widetilde{y}(\omega_1) = b_1$e$\widetilde{y}(\omega_2) = \widetilde{y}(\omega_3)=b_2.$

La domanda è: qual è il$\sigma$-campo generato da$\widetilde{y}?$

Penso che la risposta sia$F = \{\emptyset, \{\omega_1\}, \{\omega_2, \omega_3\}, \{\omega_1, \omega_2, \omega_3 \} \}$per i seguenti motivi:

1. $A \in F \subseteq \Omega $
2. $A \in F \implies A^c \in F$
3. L'intersezione di qualsiasi numero degli elementi di$F$è un elemento di$F$.
4. L'unione di qualsiasi numero degli elementi di$F$è un elemento di$F$
5. $\omega_2$e$\omega_3$sono indistinguibili l'uno dall'altro quindi non è necessario includerli$\{\omega_2\}$né$\{\omega_3\}$in$F$.

È corretto?

Inoltre, poiché la domanda riguarda$\widetilde{y}$qualsiasi informazione in merito$\widetilde{x}$è irrilevante, vero?

Inoltre, anche la probabilità di ogni stato del mondo è irrilevante quando si considera il$\sigma$-campo, vero?

Answer 1

Hai ragione, ma potresti apprezzare sapere come trovare questo campo sigma usando la definizione:

Il campo sigma generato da una variabile casuale$X:\Omega\to\mathbb{R}$consiste di tutte le immagini inverse$X^{-1}(B)$degli insiemi di Borel$B\subset \mathbb{R}.$

Perché$y$ha solo due valori possibili$b_1$e$b_2,$ci sono esattamente quattro tipi di insiemi di Borel$B$pertinente a$y:$

1. $b_1\in B$e$b_2\in B.$In questo caso,$y^{-1}(B) = \{\omega\in\Omega\mid y(\omega)\in B\}= \Omega.$

2. $b_1\in B$ma$b_2\notin B.$Adesso$y^{-1}(B) = \{\omega\in\Omega\mid y(\omega)\in B\}=\{\omega_1\}.$

3. $b_1\notin B$ancora$b_2\in B.$Adesso$y^{-1}(B) = \{\omega\in\Omega\mid y(\omega)\in B\}=\{\omega_2,\omega_3\}.$

4. $b_1\notin B$e$b_2\notin B.$Chiaramente$y^{-1}(B) = \emptyset.$

Ecco fatto: abbiamo elencato esattamente gli elementi che hai indicato$\mathfrak F.$

(Implicitamente, abbiamo usato il fatto che gli insiemi di Borel formano un campo sigma; ogni numero reale è un elemento di qualche insieme di Borel; e due numeri reali distinti possono essere separati da un insieme di Borel nel senso che uno di essi è all'interno l'insieme e l'altro è al di fuori di esso.)

Alcune cose da osservare e ricordare:

• Non devi dimostrare le proprietà$(1)-(4)$(nella tua domanda) di un campo sigma. Perché i set Borel di$\mathbb R$formano un campo sigma , necessariamente la raccolta delle loro immagini inverse sotto$y$forma un campo sigma. Ciò è dimostrato usando la teoria degli insiemi di base e devi dimostrarlo solo una volta, non ogni volta che hai a che fare con una variabile casuale.

• Il campo sigma per$y$è generato dalle immagini inverse di qualsiasi sistema pi greco che genera gli insiemi di Borel di$\mathbb R.$Un sistema pi standard è costituito dagli insiemi della forma$(-\infty, a]$utilizzati per definire le funzioni di distribuzione. Sebbene questa osservazione non avrebbe semplificato questo esercizio, semplifica notevolmente le considerazioni che coinvolgono variabili casuali più complicate.

• I campi sigma sono logicamente precedenti alle probabilità: non puoi definire una probabilità finché non hai un campo sigma. Pensala in questo modo: il campo sigma è una dichiarazione (da parte tua, il modellatore) di quali eventi puoi assegnare probabilità. Non puoi assegnare quegli incarichi finché non sai quali sono questi eventi! (La necessità di ciò viene alla ribalta in situazioni complesse in cui ci sono infinite variabili casuali da analizzare: cioè, per processi stocastici su insiemi di indici infiniti.)