Semplice teoria dei numeri in uno sconosciuto
Dato $n$ è un numero intero e $0 \leq n \leq 2000$, quanti $n$ ci sono tali $\lfloor \sqrt {n} \rfloor$ divide $n$ e $\lfloor \sqrt {n+1} \rfloor$ divide $n+1$?
Sono nuovo nella teoria dei numeri e sto avendo problemi a presumere $\lfloor \sqrt {n} \rfloor$ come $k$ ad esempio $k$è anche un numero intero. Penso davvero che questo sia il metodo migliore da allora$\lfloor \sqrt {n} \rfloor$è il numero intero più piccolo in questo problema, ma ancora non ho il senso dei miei passaggi seguenti. Mi piace vedere alcune soluzioni originali a questo in modo da poter scegliere il metodo migliore che si adatta a me.
So che è così semplice per voi ragazzi, apprezzo davvero qualsiasi aiuto e vi ringrazio in anticipo :)
PS. So già come farlo. Se$m²$ è un quadrato perfetto che ha un fattore di $m$ poi il numero prima di esso $m² - 1$ ha un fattore di $m-1.$Questi due numeri consecutivi hanno entrambi un fattore anch'esso consecutivo. Problema risolto.
Risposte
Per un numero intero positivo $ n \geq 1 $, permettere $ d_{n} = gcd(\left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor, \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor) $. Allora poiché dall'ipotesi lo sappiamo$ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor \mid n $ e $ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor \mid n+1 $ otteniamo quanto segue: $$ d_{n} \mid \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor \mid n $$ $$ d_{n} \mid \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor \mid n+1 $$ quindi $ d_{n} \mid n $ e $ d_{n} \mid n+1 $ così $ d_{n} \mid (n+1-n) $ così $ d_{n} \mid 1 $. Quindi neanche$ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor = \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = 1 $ o $ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor \geq 2 $ e $ d_{n} = 1 $.
Se $ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor = \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = 1 $ poi chiaramente $ n \in \{1,2\} $. Ora se$ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor \geq 2 $ e $ d_{n} = 1 $, che cosa $ d_{n} = 1$ ci dice è quello $ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor $ e $ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor $ sono relativamente primi poiché per definizione $ d_{n} = gcd(\left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor, \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor) $. Ma chiaramente$$ \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor + 1 \geq \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor \geq \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor $$ dove la disuguaglianza RHS è ovvia mentre quella LHS segue dal fatto che $ \sqrt{n}+1 \geq \sqrt{n+1} $(che può essere facilmente verificato squadrando). Quindi dobbiamo averlo$$ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor + 1$$.
Permettere $ k = \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor $. Poi$$ k \leq \sqrt{n} < k+1 $$ Così $$ k^{2} \leq n < (k+1)^{2} $$ Quindi $$ n+1 \leq (k+1)^{2} $$ D'altra parte, abbiamo quello $ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = \left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor + 1$ quindi $ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = k+1$ così $ k+1 \leq \sqrt{n+1} $ che produce $ (k+1)^{2} \leq n+1 $. Pertanto, da questa e dalla suddetta disuguaglianza, dobbiamo avere quella$$ n+1 = (k+1)^{2} $$ intendendo che $$ n = (k+1)^{2}-1 $$ Verifichiamo che effettivamente tutti i numeri interi positivi del modulo $ n=m^{2}-1 $ per $ m \geq 2 $verificare l'ipotesi. Quindi lascia$ n = m^{2}-1 $ per un numero intero positivo $ m \geq 2 $. Per$ m \geq 2 $ noi abbiamo $$ m^{2} > n=m^{2}-1 > (m-1)^{2}$$ Così $$ m > \sqrt{n} > m-1 $$ Allora dobbiamo averlo $\left \lfloor{\sqrt{n}}\right \rfloor = m-1 $ che divide chiaramente $ n = m^{2}-1=(m-1)(m+1) $. inoltre$ n+1 = m^{2} $ quindi $ \sqrt{n+1} = m $ così $ \left \lfloor{\sqrt{n+1}}\right \rfloor = m $ così che divide chiaramente $ n+1 = m^{2} $.
Quindi tutti numeri interi positivi $ n $ della forma $ m^{2}-1$ per un numero intero positivo $ m \geq 2 $soddisfare l'ipotesi. Abbiamo visto anche quello$ n \in \{1,2 \} $soddisfa anche l'ipotesi. Inoltre,$ 0 $ è anche una soluzione secondo la definizione di divisibilità per numeri naturali cioè diciamo $ k \mid n $ dove $ k,n \in \mathbb{N} $ se esiste $ m \in \mathbb{N} $ tale taht $ k \cdot m = n $. In caso di$ n = 0 $, tutti numeri naturali $ k $ dividere $ n $ Compreso $ 0 $ stesso poiché per $ n = 0 $ esiste (infinitamente molti, in realtà tutti i numeri naturali) $ m \in \mathbb{N} $ tale che $ 0 = 0 \cdot m $.
Per concludere, abbiamo quello $ n \in \{0,1,2\} \cup \{ m^{2}-1| m \in \mathbb{N}, m \geq 2 \} $ che risponde alla domanda di trovare tutti i numeri naturali $ n $che soddisfano l'ipotesi. Se dobbiamo limitarci a$ n \leq 2000 $, dobbiamo trovare il numero intero positivo più grande $ m $ tale che $ m^{2}-1 \leq 2000 $ che può essere facilmente trovato essere $ 44 $. Quindi i numeri naturali minori o uguali a$ 2000 $ che soddisfano l'ipotesi sono $$ n \in \{0,1,2,2^{2}-1, 3^{2}-1, 4^{2}-1, \dots , 44^{2}-1 \} = \{0,1,2,3,8,15, \dots 1935 \} $$ quindi ci sono $ 46 $ soluzioni al problema.