Spiegazione concettuale del segno davanti ad alcune operazioni binarie
In diverse situazioni, ho visto che data un'operazione binaria su un modulo graduato $m:A\otimes A\to A$, una nuova operazione $M(x,y)=(-1)^{|x|}m(x,y)$ è definito in modo che soddisfi alcune proprietà.
Un esempio di ciò accade in G-algebre di omotopia e spazi di moduli , dove per un'operazione binaria$m\in\mathcal{O}(2)$ tale che $m\circ m=0$ per alcuni operad $\mathcal{O}$, un prodotto associativo è definito da $xy=(-1)^{|x|+1}m\{x,y\}$, dove la notazione delle parentesi graffe sta per la struttura algebrica delle parentesi graffe $\mathcal{O}$. In questo caso, la spiegazione che sono stato in grado di dedurre è che ciò è necessario affinché la relazione tra parentesi graffe (equazione (2) nel documento) implichi l'associatività del prodotto$xy$. In questo caso il segno$(-1)^{|x|}$ funziona anche per questo scopo.
Un altro esempio più diretto di questa situazione si verifica nelle formule di omotopia di Cartan e nella connessione gauss-maniana nell'omologia ciclica , dove data una$A_\infty$-algebra con $m_i=0$ per $i>2$, si ottiene una dg-algebra definendo di nuovo $xy=(-1)^{|x|}m_2(x,y)$. In questo caso, ciò è dovuto al fatto che l'autore utilizza una convenzione per$A_\infty$-algebre in cui le equazioni hanno solo segni più, quindi è necessario qualche segno in più per produrre la relazione di associatività e la regola di Leibniz. Quindi le ragioni sono molto simili al caso precedente anche se la costruzione è più semplice perché qui non c'è l'algebra delle parentesi graffe.
E un altro esempio in più per il quale non ho alcun riferimento è nel caso delle algebre di Lie. Quando si definisce un generatore dell'operade di algebre di Lie graduate, spesso si prende$l(x,y)=(-1)^{|x|}[x,y]$ invece di definire direttamente $l$come la staffa. Se non ricordo male, questo era necessario per ottenere l'identità Jacobi in termini puramente operadici.
Quindi sembra che sia molto comune aggiungere quel segno per mantenere alcune relazioni. Quello che vorrei sapere se esiste una spiegazione più concettuale del motivo per cui questo vale sistematicamente. Forse è solo che funziona quando si scrivono le equazioni, ma sto cercando un'intuizione più generale.
La mia motivazione è generalizzare questa idea alle mappe di arità superiore. Più precisamente, dato un$A_\infty$-moltiplicazione $m\in\mathcal{O}$ tale che $m\circ m=0$, Voglio definire un file $A_\infty$-struttura $M$ su $\mathcal{O}$ che soddisfa la convenzione sui segni
$$\sum_{n=r+s+t}(-1)^{rs+t}M_{r+1+t}(1^{\otimes r}\otimes M_s\otimes 1^{\otimes t})=0.$$
(C'è anche un'altra possibile convenzione in cui $rs+t$ è sostituito da $r+st$)
Quindi questo è molto simile al documento di Getzler in cui definisce $M_j(x_1,\dots, x_j)=m\{x_1,\dots x_j\}$e queste mappe di struttura soddisfano la relazione $M\circ M=0$ma con tutti i segni più. Quindi ho bisogno di modificare queste mappe con alcuni segni in modo simile al caso associativo. Ovviamente posso provare a sedermi e scrivere le equazioni e trovare alcune condizioni necessarie per i segni e magari trovare uno schema. Ma se c'è una spiegazione concettuale per il caso associativo e le algebre di menzogna, allora forse c'è un modo più semplice per scoprire quali sono i segni di cui ho bisogno.
Risposte
Trovo la domanda piuttosto interessante (nel senso che domande simili relative a fattori di segno che compaiono in varie strutture algebriche diverse senza una ragione apparente, sono state oggetto di studio per un bel po 'in passato ..)
Anche se non ho molta familiarità con la maggior parte dei tuoi esempi, dal momento che stai anche menzionando le algebre associative e di Lie, farò riferimento a un "fenomeno" simile da algebre gradate: questo ha a che fare con il $\mathbb{Z}_2$-prodotto tensoriale graduato, tra due superalgebre associative ($\mathbb{Z}_2$-algebre classificate) $A$ e $B$. Se$b$, $c$ sono elementi omogenei di $B$ e $A$rispettivamente, quindi la cosiddetta algebra del prodotto super tensore o$\mathbb{Z}_2$-algebra del prodotto tensoriale graduale , delle superalgebre, è la superalgebra$A\underline{\otimes} B$, la cui moltiplicazione è data da $$ (a \otimes b)(c \otimes d) = (-1)^{|b| \cdot |c|}ac \otimes bd $$ con $|b|, |c|\in\mathbb{Z}_2$. Qui il fattore segno , riflette l'intreccio della categoria monoidale di rappresentazioni dell'algebra di gruppo hopf$\mathbb{CZ}_2$: Ricorda che le superalgebre possono essere alternativamente viste come algebre nella Categoria monoidale intrecciata ${}_{\mathbb{CZ}_{2}}\mathcal{M}$ (ovvero la categoria di $\mathbb{CZ}_{2}$-moduli) e che la moltiplicazione di cui sopra può essere scritta astrattamente come: $$ m_{A\underline{\otimes} B}=(m_{A} \otimes m_{B})(Id \otimes \psi_{B,A} \otimes Id): A \otimes B \otimes A \otimes B \longrightarrow A \otimes B $$Qui l' intreccio è dato dalla famiglia degli isomorfismi naturali$\psi_{V,W}: V\otimes W \cong W\otimes V$ scritto esplicitamente: $$ \psi_{V,W}(v\otimes w)=(-1)^{|v| \cdot |w|} w \otimes v $$ dove $V$, $W$ sono due $\mathbb{CZ}_2$moduli.
Inoltre, questo intreccio è indotto dalla struttura quasitriangolare non banale dell'algebra di Hopf del gruppo$\mathbb{CZ}_{2}$, fornito da $R$-matrice : \ begin {equation} R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} = \ sum R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} ^ {(1)} \ otimes R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} ^ {(2)} = \ frac {1} {2} (1 \ otimes 1 + 1 \ otimes g + g \ otimes 1 - g \ otimes g) \ end {equation} attraverso la relazione:$\psi_{V,W}(v \otimes w) = \sum (R_{\mathbb{Z}_{2}}^{(2)} \cdot w) \otimes (R_{\mathbb{Z}_{2}}^{(1)} \cdot v)=(-1)^{|v| \cdot |w|} w \otimes v$.
Per l'ennesimo punto di vista, quello sopra citato$R$-matrice può essere considerata "generata" dal corrispondente bicarattere (o: fattore di commutazione) del$\mathbb{Z}_2$gruppo.
Ci sono biiezioni tra$R$-matrici, trecce e bicaratteri (che qui sono in realtà fattori di commutazione) nell'impostazione intrecciata, graduata per assoc o Lie intrecciata ("colorato" è un altro nome), algebre graduate.
Tutti questi possono essere generalizzati per algebre graduate, classificazioni e trecce, o $R$-matrici, o bicaratteri dei gruppi corrispondenti, per qualsiasi gruppo abeliano finito. Anche per$\mathbb{G}$-gradato, $\theta$-colore Lie superalgebre, per produrre bicaratteri più complicati $\theta:\mathbb{G}\times\mathbb{G}\to k$ (che nell'esempio sopra dove $\mathbb{G}=\mathbb{Z}_2$ è esattamente il fattore segno di $\mathbb{Z}_2$ gruppo abeliano).
Per concludere: i fattori segno qui sono un'apparizione "implicita" dei corrispondenti bicaratteri del gruppo. E possono anche essere visti come trecce della corrispondente categoria di rappresentazioni o come$R$-matrici per le corrispondenti algebre di hopf del gruppo quaitriangolare (del gruppo pinna, abeliana, grading).
Se sei interessato a questi esempi e li consideri pertinenti alla tua domanda, puoi anche dare un'occhiata alla descrizione in questa risposta: https://mathoverflow.net/a/261466/85967 e il mio documento collegato in esso.
Come ha commentato Gabriel C. Drummond-Co, ha a che fare con sospensioni implicite. Lo farò con l'esempio di Gerstenhaber e Voronov e gli altri dovrebbero seguire allo stesso modo. Indichiamo$M_2(x,y)=x\cdot y$ il prodotto che vogliamo definire in base al tutore $m\{x,y\}$. Se lo definiamo come una mappa$(s\mathcal{O})^{\otimes 2}\to s\mathcal{O}$ (sospensione come spazi vettoriali graduati), quindi la cosa naturale da fare è usare il controvento $m\{-,-\}:\mathcal{O}^{\otimes 2}\to \mathcal{O}$, ma per farlo bisogna comporre con sospensioni e desusioni. Vale a dire,$M_2(x,y)=s(m\{(s^{-1}x,s^{-1}y)\})$. E sta applicando$(s^{-1})^{\otimes 2}(x,y)$ cosa fa il segno $(-1)^{|x|}$apparire. Se usiamo$(s^{\otimes 2})^{-1}$ invece allora otteniamo il segno originale $(-1)^{|x|+1}$.