Sta dimostrando ' $X$ è paracompatto Hausdorff iff $X\times Y$ è $T_4$ per tutti i compatti Hausdorff $Y$'senza il teorema di Tamano possibile?
$X$ è paracompatto Hausdorff iff $X\times Y$ è $T_4$ per tutti i compatti Hausdorff $Y$
Per questo teorema, l'implicazione diretta ha una dimostrazione standard, mentre l'implicazione inversa è generalmente dimostrata usando il teorema di Tamano, che utilizza le compattazioni.
Tuttavia, non so molto di compattificazioni. Quindi, preferirei che ci fosse una prova per l'implicazione inversa non usarlo. Ho provato a cercare online, ma senza successo. Quindi, esiste una tale prova? Qualsiasi aiuto sarebbe apprezzato!
Risposte
Il Lemma 2.5 (e i risultati circostanti) fanno la maggior parte del lavoro in questo classico articolo di Morita che lo ha dimostrato per primo. Utilizzava uno spazio di prova compatto degli ordinali$W(\omega_\alpha + 1)$e non utilizza le compattazioni a una rapida occhiata sulla prova. È una generalizzazione (in un certo senso) del risultato di Dowker su spazi numerabilmente paracompatti.
Se la condizione del lato destro è soddisfatta, per ogni cardinale $\mathfrak{m}$, $X \times [0,1]^{\mathfrak{m}}$ è $T_4$ il che implica quello $X$ è $\mathfrak{m}$-paracompatto per tutti i cardinali (questo è sulla carta) (e già banalmente Hausdorff). Così$X$ è paracompact Hausdorff.
Potrebbe interessarti anche questo documento di sintesi del 2002 di Noble, in quanto riguarda questioni simili. Tratta anche il teorema di Noble che se$X$ è $T_1$ e $X^\kappa$ è normale per tutti $\kappa$, poi $X$ è compatto.