Sul legame tra omologia e omotopia
Nell'ultimo semestre ho imparato l'algebra omologica e la teoria delle categorie superiori / teoria dell'omotopia.
Ma sono un po 'confuso quando cerco di capire davvero il legame tra i due soggetti (questa non è davvero la mia zona di comfort ...)
Quindi provo a scrivere (una sorta di autoesercizio) un testo sull'algebra omologica e la teoria dell'omotopia ma introduco davvero $0$ i due soggetti.
Vorrei introdurre i seguenti concetti in algebra omologica:
- complesso di catene
1$\frac{1}{2}$. Gruppo Grothendieck
omotopia di un complesso
categoria derivata
strutture a t
E vorrei anche introdurre i seguenti concetti nella teoria dell'omotopia:
Categorie di modelli
Categoria di omotopia di una categoria di modello
Derivazione nell'impostazione di categorie di modelli
Quasi-categorie
4.5. oggetto simpliciale in una categoria e omotopia in questo contesto
- Equivalenza Dold-Kan
Ora inizia la parte "difficile":
Come organizzare bene questi concetti? Per 1-3 (sia in omologia / omotopia) penso di sapere come farlo ma per 3-5 soprattutto in omotopia non ho idea ...
Questo dà origine alle mie domande:
- Come motivare le categorie infinito, o più in generale la teoria dell'omotopia / teoria delle categorie superiori ma da un punto di vista omologico. Ho letto da qualche parte forse una buona idea:
Per una categoria abeliana $\mathcal{A}$, la categoria derivata $\mathcal{D(A)}$ non è definito da una proprietà universale.
Ho letto da qualche parte che in un certo senso la teoria delle categorie superiori risolve il problema. Va bene ma perché? E abbiamo bisogno di quasi categorie o le categorie di modelli sarebbero sufficienti per farlo?
- Se qualcuno ha qualche idea per organizzare questo testo apro a qualsiasi suggerimento.
Sarò grato se qualcuno potesse darmi alcuni indizi per fare questo esercizio personale.
Risposte
Incoraggerei l'OP a leggere gli scritti di altri su questo argomento, prima di provare a scrivere qualcosa da zero. Ho frequentato lezioni all'OSU dove Aaron Mazel-Gee era motivato$\infty$-categorie molto simili a quelle suggerite dall'OP nella Domanda 1. Sembra che alcune delle idee di quelle lezioni siano ora apparse qui .
Per quanto riguarda la domanda 2, il libro di Weibel Introduction to Homological Algebra fa un ottimo lavoro con la prima raccolta di argomenti, poi il libro di Hovey (o Dwyer-Spalinski ) fornisce i primi tre elementi nella seconda raccolta, ei libri di Lurie ti danno tutto ciò che potresti desiderare sulle categorie quasiche e sulla loro connessione con categorie di modelli e algebra omologica (seriamente, le introduzioni che scrive per ogni capitolo sono fenomenali). Per quanto riguarda la corrispondenza Dold-Kan, mentre sono sicuro che appaia da qualche parte negli scritti di Lurie, l' esposizione più chiara che ho letto da nessuna parte è di Akhil Mathew.
Sono d'accordo con Arthur sul fatto che, se avessi una mentalità più categorica, potresti invertire l'ordine (ad esempio, iniziando con Lurie, se sapessi già di set simpliciali). Per quanto mi riguarda, preferisco iniziare con qualcosa di concreto e poi costruire l'astrazione su questo, a poco a poco, come suggerisce questo ordinamento. Il libro di Weibel è davvero scritto in modo tale da rendere facile passare da lì a categorie triangolate, categorie modello e quasi-categorie. Ma inizia in un luogo molto accessibile agli algebristi.
Risponderò prima alla seconda domanda. In una certa misura, l'ordine che scegli dipenderà in gran parte dal fatto che tu voglia guidare con esempi o con piena astrazione. Ad esempio, è possibile introdurre risoluzioni proiettive e la categoria derivata utilizzando solo fatti su$\text{Ch}(\mathcal{A})$ e il calcolo delle frazioni di Ore (vedi il libro di Weibel per un trattamento come questo) oppure puoi introdurre categorie di modelli, provare le loro proprietà, provare che $\text{Ch}(\mathcal{A})$ammette una struttura del modello proiettiva usando un piccolo argomento oggetto (vedere questa pagina nLab per una struttura dell'argomento), e arrivare così a una descrizione della categoria derivata come categoria di omotopia.
Personalmente penso che il secondo account sarebbe inutilmente contorto e avrebbe più senso introdurre prima qualche algebra omologica, non ultimo perché in questo modo puoi introdurre la struttura proiettiva del modello come esempio di una struttura del modello, la risoluzione proiettiva come esempio di un risoluzione cofibrante, categoria derivata come esempio di categoria di omotopia e così via; questi concetti possono essere difficili da ottenere un'intuizione senza diversi esempi! Ma entrambi gli ordini sono disponibili per te.
Sulla questione delle categorie del modello e delle quasicategorie: le categorie del modello possono essere viste come "presentazioni" per le quasicategorie (vedere questa pagina di nLab per questa prospettiva e le appendici A.2 e A.3 della teoria dei topi superiori di Lurie per uno sviluppo della teoria delle categorie di modelli con questo obiettivo esplicito). Quasicategorie hanno diversi vantaggi rispetto alle categorie del modello: per esempio, esiste una quasicategoria di funtori da qualsiasi quasicategoria a un'altra, mentre l'affermazione analoga non vale per le categorie del modello. Tuttavia, le strutture dei modelli sono fortemente coinvolte in molte delle prove fondamentali riguardanti le categorie quasiche, quindi non ci sono due modi per ordinare questi argomenti.
Sulla tua prima domanda: personalmente non credo che l'algebra omologica sia una motivazione sufficiente per introdurre categorie modello o categorie infinito. Come sollevato nei commenti, la categoria triangolata$\mathcal{D}(\mathcal{A})$non consente i coni funtoriali e questo è fastidioso in alcune applicazioni, ma la maggior parte delle persone è andata d'accordo con l'applicazione dell'algebra omologica per decenni prima che la gente iniziasse a parlare di categorie dg e quasic. Un ordine più forte per il tuo testo, a mio parere, sarebbe introdurre concetti di base dall'algebra omologica, quindi usarli come esempi quando inizi a parlare di categorie di modelli e infine di quasicategorie.
Sulla questione di una proprietà universale per $\mathcal{D}(\mathcal{A})$usando le categorie infinito, potresti trovare utile la sezione 1.3.3 dell'Algebra superiore di Lurie. Nota, tuttavia, quello$\mathcal{D}(\mathcal{A})$ certamente ha una proprietà universale nel linguaggio ordinario 1-categoriale: è la localizzazione di $\text{Ch}(\mathcal{A})$ ai quasi-isomorfismi.