Tempo di arresto previsto del moto browniano in uscita dal canale [a, -b]

Aug 18 2020

Permettere $W(t)$essere un movimento browniano standard. Permettere$\tau$ essere la prima volta che $W(t)$ raggiunge entrambi i livelli "$a$"o livello"$-b$". Qual è il modo più semplice per eseguire il calcolo$\mathbb{E}[\tau]$?

Sono in grado di mostrare la probabilità che $W(t)$ hit level "$a$" prima "$-b$"e viceversa, ma non sono in grado di calcolare facilmente l'aspettativa del tempo di arresto $\tau$.

Per mostrare la probabilità che $W(t)$ colpi "$a$" prima "$b$", Presumo $\mathbb{E[\tau]}\leq \infty$, così che per il teorema di arresto facoltativo di Doob, $\mathbb{E}[W_{\tau}]=W(0)=0$(cioè il processo interrotto è una martingala). Poi:

$$ 0=\mathbb{E}[W_{\tau}]=a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+ (-b)\mathbb{P}(W_{\tau}=-b) $$

Per definizione di $\tau$, ce l'abbiamo $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+\mathbb{P}(W_{\tau}=-b)=1$, così che:

$$ a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+ (-b)\mathbb{P}(W_{\tau}=-b) = \\ = a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)-b(1-\mathbb{P}(W_{\tau}=a)$$

Risolvendo per $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)$ dà: $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)=\frac{b}{a+b}$

Domanda 1 : come potrei dimostrarlo facilmente$\mathbb{E}[\tau]\leq \infty$, in modo da poter verificare che posso effettivamente utilizzare il teorema di arresto facoltativo di Doob?

Domanda 2 : come posso calcolare$\mathbb{E}[\tau]$ nel modo più semplice possibile?

Risposte

1 MF14 Aug 18 2020 at 22:11

Probabilmente sai (e in caso contrario, potresti facilmente verificare) che il processo $X_{t}=B_{t}^{2}-t$ è una martingala.

Ora considera, per $n \in \mathbb{N}$, i tempi di arresto (limitati) $$T_{n}=T \wedge n$$

Applicare il teorema di arresto opzionale a $T_{n}$ notandolo $B_{T_{n}} \le \max(a,b)$ e $T_{n} \le n$

Usa il teorema di convergenza monotono per ottenere $$E[T]=\lim_{n\rightarrow \infty}E[T_{n}]= \lim_{n\rightarrow \infty} E[B_{T_{n}}^{2}] \le \max(a^2,b^2)< \infty$$

Ora usa la convergenza dominata per concludere $$\lim_{n\rightarrow \infty} E[B_{T_{n}}^{2}] = E[B_{T}^{2}] = a^2 P(B_{T}=a) + b^2 P(B_{T}=b)$$

che già conosci.

Questo ti dà $E[T]$.