Test di Hadamard per il calcolo della parte immaginaria

Aug 24 2020

Sto cercando di capire il test di Hadamard trovando il valore medio di$U_1$, che è una matrice diagonale con$1$ovunque tranne che sul primo elemento.

Ho eseguito il normale test di Hadamard come presentato nella pagina wiki:

e fin qui tutto bene, tutto funziona come dovrebbe.

Qual è la variante circuitale per eseguire il test di Hadamard per calcolare la parte immaginaria? La pagina wiki dice che devi solo iniziare$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-i |1\rangle)$invece di$H|0\rangle$, ho provato a fare il test aggiungendo uno sfasamento di -i on$|0\rangle$applicando$U_s$=$\begin{bmatrix}\ 1 & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$sul qubit di controllo dopo$H$, ma tutto ciò che ottengo sono misurazioni casuali

Risposte

2 DavitKhachatryan Aug 24 2020 at 17:19

Ecco un circuito per il calcolo$Im(\langle\psi|U |\psi \rangle)$( compositore di circuiti da IBM ):

Stato iniziale:$$|\Psi_0 \rangle=|0\rangle |\psi\rangle$$

Dopo$S^{\dagger} H$sul primo qubit:

$$|\Psi_1 \rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - i|1\rangle) |\psi\rangle$$

Controllato$U$

$$|\Psi_2 \rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle |\psi\rangle - i|1\rangle U |\psi\rangle)$$

Dopo Hadamard finale sul qubit di controllo:

\begin{align*} |\Psi_3 \rangle &=\frac{1}{2} \big[(|0\rangle + |1\rangle) |\psi\rangle - i(|0\rangle - |1\rangle) U |\psi\rangle \big] = \\ &=\frac{1}{2} \big[|0\rangle (|\psi\rangle - i U |\psi\rangle) + |1\rangle(|\psi\rangle + i U |\psi\rangle) \big] \end{align*}

La probabilità di misurazione$|0\rangle$e la probabilità di misurazione$|1\rangle$:

$$p_0 = \frac{1}{4}\big[(\langle \psi | + i \langle \psi | U^{\dagger})(|\psi\rangle - i U |\psi\rangle) \big]= \frac{1}{4}\big[2 - i \langle\psi|U|\psi\rangle + i \langle\psi|U^{\dagger}|\psi\rangle \big] \\ p_1 = \frac{1}{4}\big[(\langle \psi | - i \langle \psi | U^{\dagger})(|\psi\rangle + i U |\psi\rangle) \big]= \frac{1}{4}\big[2 + i \langle\psi|U|\psi\rangle - i \langle\psi|U^{\dagger}|\psi\rangle \big]$$

perché$U^\dagger U = I$e$\langle \psi|\psi \rangle = 1$. Calcolo del valore atteso di$\sigma_z$:

$$\langle \sigma_z \rangle = p_0 - p_1 = -i \frac{\langle\psi|U |\psi \rangle - \langle\psi| U^{\dagger} |\psi \rangle}{2} = Im(\langle\psi|U |\psi \rangle)$$

Quindi il circuito funziona come descritto nella pagina di Wikipedia sul test di Hadamard.

1 RahulPratapSingh Aug 24 2020 at 14:01

Ecco, penso che tu volessi questo link

OPENQASM 2.0;
include "qelib1.inc";

qreg q[2];
creg c[1];

x q[0];
x q[1];
h q[0];
s q[0];
cu1(pi) q[0],q[1];
h q[0];
measure q[0] -> c[0];