Topologia debole dello spazio normato

Aug 16 2020

Permettere $X,Y$ essere due spazi normati e $T:X\rightarrow Y$ essere un operatore lineare limitato $X,Y$con topologia debole. La mia domanda è che lo fa$T$ mappe debolmente compatto insieme di $X$ a debolmente compatto insieme di $Y$ e la seconda domanda è che sì $T$ rimane una mappa continua se ci attrezziamo $X,Y$ con topologia debole.

Risposte

1 Matematleta Aug 16 2020 at 04:30

Se $V$ è un elemento subbasis di $\tau_w$ in $Y$ contenente $0_Y$, poi c'è un funzionale $\phi:Y\to \mathbb F$ e $\epsilon>0$ tale che $V=\{y:\phi(y)<\epsilon\}$. Poi,$T^{-1}(V)=\{x:(\phi\circ T)(x)<\epsilon\}$. Adesso$\phi\circ T:X\to \mathbb F$ è un funzionale lineare continuo (norma) $T^{-1}(V)$ è debolmente aperto $X$ e contiene $0_X$. Ne consegue che$T$è debole-debole continuo. Questo dà una risposta affermativa alla seconda domanda, che a sua volta dà una risposta affermativa alla prima.

1 JacobManaker Aug 16 2020 at 05:10

Questa risposta non fornisce nulla di nuovo, ma penso che una spiegazione in termini di sequenze potrebbe essere più chiara. La questione della compattezza deriva dalla continuità da debole a debole (l'implicazione vale per topologie arbitrarie), quindi è sufficiente mostrare quest'ultima.

Supponiamo $\{x_n\}_n\rightharpoonup y$. Quindi, per tutti$f\in X^*$, $\{f(x_n)\}_n\to f(y)$. In particolare, qualsiasi duale della forma$g\circ T$, dove $g\in Y^*$, soddisferà $$\{g(Tx_n)\}_n\to g(Ty)$$ Ma questo è giusto $\{Tx_n\}_n\rightharpoonup Ty$.