Topologia debole dello spazio normato
Permettere $X,Y$ essere due spazi normati e $T:X\rightarrow Y$ essere un operatore lineare limitato $X,Y$con topologia debole. La mia domanda è che lo fa$T$ mappe debolmente compatto insieme di $X$ a debolmente compatto insieme di $Y$ e la seconda domanda è che sì $T$ rimane una mappa continua se ci attrezziamo $X,Y$ con topologia debole.
Risposte
Se $V$ è un elemento subbasis di $\tau_w$ in $Y$ contenente $0_Y$, poi c'è un funzionale $\phi:Y\to \mathbb F$ e $\epsilon>0$ tale che $V=\{y:\phi(y)<\epsilon\}$. Poi,$T^{-1}(V)=\{x:(\phi\circ T)(x)<\epsilon\}$. Adesso$\phi\circ T:X\to \mathbb F$ è un funzionale lineare continuo (norma) $T^{-1}(V)$ è debolmente aperto $X$ e contiene $0_X$. Ne consegue che$T$è debole-debole continuo. Questo dà una risposta affermativa alla seconda domanda, che a sua volta dà una risposta affermativa alla prima.
Questa risposta non fornisce nulla di nuovo, ma penso che una spiegazione in termini di sequenze potrebbe essere più chiara. La questione della compattezza deriva dalla continuità da debole a debole (l'implicazione vale per topologie arbitrarie), quindi è sufficiente mostrare quest'ultima.
Supponiamo $\{x_n\}_n\rightharpoonup y$. Quindi, per tutti$f\in X^*$, $\{f(x_n)\}_n\to f(y)$. In particolare, qualsiasi duale della forma$g\circ T$, dove $g\in Y^*$, soddisferà $$\{g(Tx_n)\}_n\to g(Ty)$$ Ma questo è giusto $\{Tx_n\}_n\rightharpoonup Ty$.