Trasformazione di Fourier differenziando una funzione e integrando la soluzione.

Question

L'integrale della trasformata di Fourier della derivata è una funzione uguale alla trasformata di Fourier della funzione?

Ad esempio, ho una funzione$\theta(x)=-2\tan^{-1}(\frac{x}{c})$.

Trovo piuttosto difficile calcolare la trasformata di Fourier di questa funzione. Quindi, stavo pensando di prendere la derivata della funzione.$$\theta'(x)=-\frac{2}{c \left(\frac{x^2}{c^2}+1\right)}$$Posso facilmente calcolare la trasformata di Fourier di questa funzione$\theta'(p)=\sqrt{2 \pi } \left(-e^{-c | p| }\right)$. Integrando su entrambi i lati:$\theta(p)=\frac{| p| \left(\sqrt{2 \pi } e^{-c | p| }\right)}{c p}$

È questa la corretta trasformata di Fourier della funzione?$\theta(x)$?

Answer 1

Non vero. Il FT di$f'$è$-it \hat {f} (t)$. Quindi da trovare$\hat {f} (t)$devi solo dividere$\hat {f'}(t)$di$-it$invece di integrarlo.