Trova il coefficiente di correlazione tra$X_{(1)},X_{(3)}$

Question

C'è la seguente domanda:

Permettere$X_{(1)},X_{(2)},X_{(3)}$essere l'ordine statistico di tre variabili casuali indipendenti$X_1,X_2,X_3$con distribuzione uniforme in$[0,1]$. Trova il coefficiente di correlazione tra$X_{(1)},X_{(3)}$.

Lo sappiamo$X_{(k)}\sim Beta(k,4-k)$quindi otteniamo:$$ Var\left(X_{(k)}\right)=\frac{k\cdot(4-k)}{(k+(4-k))^{2}\cdot(k+(4-k)+1)}=\frac{k(4-k)}{80}, E\left(X_{(k)}\right)=\frac{k}{(4-k)+k}=\frac{k}{3} $$Possiamo usare il seguente teorema per calcolare$Corr\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)$:$$ Corr\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)=\frac{Cov\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)}{\sqrt{Var\left(X_{(1)}\right)}\sqrt{Var\left(X_{(2)}\right)}}=\frac{E\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)-E\left(X_{(1)}\right)E\left(X_{(3)}\right)}{\sqrt{Var\left(X_{(1)}\right)}\sqrt{Var\left(X_{(2)}\right)}} $$L'unica cosa che resta da calcolare è$E\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)$. Nella soluzione si dice che le funzioni di densità di probabilità sono:

Non capisco come abbiano calcolato la funzione sinistra. Sarà lieto di vedere qualche spiegazione. Quale teorema hanno usato?

Answer 1

La tripla funzione di densità congiunta per la statistica dell'ordine è la funzione di densità di probabilità per la disposizione dei campioni che si adatta a quei tre valori ordinati,$x\leqslant y\leqslant z$.

Poiché questi tre campioni sono distribuiti in modo identico e indipendente, vale a dire:

$$\begin{align}f_{\small\! X_{(1)},X_{(2)},X_{(3)}}\!(x,y,z) &={( f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(x,y,z) + f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(x,z,y)+f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(y,x,z)\\+f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(y,z,x)+f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(z,x,y)+f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(z,y,x))~\mathbf 1_{x\leqslant y\leqslant z}} \\[1ex] &= 3!\,f_{\!\small X_1}\!(x)\,f_{\!\small X_1}\!(y)\,f_{\!\small X_1}\!(z))\;\mathbf 1_{x\leqslant y\leqslant z}\\[1ex]&=3!\,\mathbf 1_{0\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant 1}\end{align}$$

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Il marginale per il giunto pdf per$X_{(1)}$e$X_{(3)}$è solo l'integrale di questo per tutti i valori intermedi tra la statistica di ordine minimo e massimo.

$$\begin{align}f_{\small\! X_{(1)},X_{(3)}}\!(x,z) &=\int_x^z f_{\small\! X_{(1)},X_{(2)},X_{(3)}}\!(x,y,z) ~\mathrm d y \\[2ex]&= 3!~(z-x)~\mathbf 1_{0\leqslant x\leqslant z\leqslant 1}\end{align}$$

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Allo stesso modo:$$\begin{align}f_{\small X_{(1)}}(x)&= 3\,(1-x)^2~\mathbf 1_{0\leqslant x\leqslant 1}\\[3ex]f_{\small X_{(2)}}(y)&=3!\,y(1-y)\,\mathbf 1_{0\leqslant y\leqslant 1}\\[3ex]f_{\small X_{(3)}}(z)&= 3\,z^2\,\mathbf 1_{0\leqslant z\leqslant 1}\end{align}$$

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Questo è tutto.

Answer 2

Una scorciatoia per la risposta è notare che$(X_{(1)}, X_{(2)} - X_{(1)}, X_{(3)} - X_{(2)}, 1 - X_{(3)}) = (p_1, p_2, p_3, p_4)$è distribuito uniformemente sul simplex, cioè ha a$\operatorname{Dirichlet}(1,1,1,1)$distribuzione. Perciò,$\text{Cov}(X_{(1)}, X_{(3)}) = -\text{Cov}(p_1, p_4)$che usando le proprietà della distribuzione di Dirichlet è$(1 \times 1) / (4^2 * 5) = 1/80$. Abbiamo anche$\text{Var}(X_{(1)}) = \text{Var}(X_{(3)}) = \text{Var}(p_1) = \text{Var}(p_4) = 3/80$quindi la correlazione è$1/3$.